初中数学轴对称-最短路线问题试题

如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{CD}$的垂直平分线交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DH}=4$， $\mathit{BF}:\mathit{FA}=1:5$．

（1）如图2，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$于点 $G$，交 $\mathit{DH}$于点 $M$，将 $\mathit{\Delta DGM}$沿 $\mathit{DC}$方向平移，得到△ $\mathit{CG}\text{'}M\text{'}$，连接 $M\text{'}B$．

①求四边形 $\mathit{BHMM}\text{'}$的面积；

②直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $N$，求 $\mathit{\Delta DNM}$周长的最小值．

（2）如图3，延长 $\mathit{CB}$交 $\mathit{EF}$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{QK}//\mathit{AB}$，过 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$作 $\mathit{PK}//\mathit{EF}$，并与 $\mathit{QK}$交于点 $K$，将 $\mathit{\Delta PKQ}$沿直线 $\mathit{PQ}$翻折，使点 $K$的对应点 $K\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AB}$上，求线段 $\mathit{CP}$的长．

如图，在扇形 $\mathit{BOC}$中， $\angle \mathit{BOC}=60°$， $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{BOC}$交 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$于点 $D$，点 $E$为半径 $\mathit{OB}$上一动点．若 $\mathit{OB}=2$，则阴影部分周长的最小值为　   　．

如图，将边长为6的正三角形纸片 $\mathit{ABC}$按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$（如图①），点 $O$为其交点．

（1）探求 $\mathit{AO}$与 $\mathit{OD}$的数量关系，并说明理由；

（2）如图②，若 $P$， $N$分别为 $\mathit{BE}$， $\mathit{BC}$上的动点．

①当 $\mathit{PN}+\mathit{PD}$的长度取得最小值时，求 $\mathit{BP}$的长度；

②如图③，若点 $Q$在线段 $\mathit{BO}$上， $\mathit{BQ}=1$，则 $\mathit{QN}+\mathit{NP}+\mathit{PD}$的最小值 $=$　    　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{BAC}=30°$， $E$为 $\mathit{AB}$边的中点，以 $\mathit{BE}$为边作等边 $\mathit{\Delta BDE}$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta CDB}$；

（2）若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，在 $\mathit{AC}$边上找一点 $H$，使得 $\mathit{BH}+\mathit{EH}$最小，并求出这个最小值．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$， $F$分别是边 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DF}$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{DF}$，垂足为 $H$， $\mathit{EH}$的延长线交 $\mathit{DC}$于点 $G$．

（1）猜想 $\mathit{DG}$与 $\mathit{CF}$的数量关系，并证明你的结论；

（2）过点 $H$作 $\mathit{MN}//\mathit{CD}$，分别交 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$于点 $M$， $N$，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为10，点 $P$是 $\mathit{MN}$上一点，求 $\mathit{\Delta PDC}$周长的最小值．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,-1)$三点， $D(1,m)$是一个动点，当 $\mathit{\Delta ACD}$的周长最小时， $\mathit{\Delta ABD}$的面积为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $\frac{2}{3}$C． $\frac{4}{3}$D． $\frac{8}{3}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DA}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{CB}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=2$， $P$是边 $\mathit{AB}$上的动点，则 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值是　 　．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$， $C$分别在 $x$轴、 $y$轴上，四边形 $\mathit{ABCO}$是边长为4的正方形，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，点 $P$为 $\mathit{OB}$上的一个动点，连接 $\mathit{DP}$， $\mathit{AP}$，当点 $P$满足 $\mathit{DP}+\mathit{AP}$的值最小时，直线 $\mathit{AP}$的解析式为　　．

如图，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$的底边 $\mathit{BC}=20$，面积为120，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{BF}=3\mathit{FC}$， $\mathit{EG}$是腰 $\mathit{AC}$的垂直平分线，若点 $D$在 $\mathit{EG}$上运动，则 $\mathit{\Delta CDF}$周长的最小值为　　．

在平面直角坐标系内有两点 $A$、 $B$，其坐标为 $A(-1,-1)$， $B(2,7)$，点 $M$为 $x$轴上的一个动点，若要使 $\mathit{MB}-\mathit{MA}$的值最大，则点 $M$的坐标为　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=4$，以点 $O$为圆心，2为半径的圆与 $\mathit{OB}$交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，点 $P$是边 $\mathit{OA}$上的动点．当 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$最小时， $\mathit{OP}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{3}{4}$C．1D． $\frac{3}{2}$

如图， $\angle \mathit{AOB}=60°$，点 $P$是 $\angle \mathit{AOB}$内的定点且 $\mathit{OP}=\sqrt{3}$，若点 $M$、 $N$分别是射线 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OB}$上异于点 $O$的动点，则 $\mathit{\Delta PMN}$周长的最小值是 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{6}}{2}$B． $\frac{3\sqrt{3}}{2}$C．6D．3

如图，直线 $y=\frac{2}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$和点 $B$，点 $C$、 $D$分别为线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{OB}$的中点，点 $P$为 $\mathit{OA}$上一动点，当 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$最小时，点 $P$的坐标为 $($　　 $)$

A． $(-3,0)$B． $(-6,0)$C． $(-\frac{3}{2}$， $0)$D． $(-\frac{5}{2}$， $0)$

如图， $\angle \mathit{BAC}=30°$， $M$为 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AM}=2$，点 $P$是 $\mathit{AB}$上的一动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $Q$，则 $\mathit{PM}+\mathit{PQ}$的最小值为　　．

如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象与边长是6的正方形 $\mathit{OABC}$的两边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$分别相交于 $M$， $N$ 两点． $\mathit{\Delta OMN}$的面积为10．若动点 $P$在 $x$轴上，则 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最小值是 $($　　 $)$

A． $6\sqrt{2}$B．10C． $2\sqrt{26}$D． $2\sqrt{29}$