初中数学平行线分线段成比例试题

问题1：如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $D$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．设 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta DEC}$的面积为 $S\text{'}$．

（1）当 $\mathit{AD}=3$时， $\frac{S\text{'}}{S}=$　　；

（2）设 $\mathit{AD}=m$，请你用含字母 $m$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

问题2：如图②，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$， $E$是 $\mathit{AB}$上一点（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$．设 $\mathit{AE}=n$，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$， $\mathit{\Delta EFC}$的面积为 $S\text{'}$．请你利用问题1的解法或结论，用含字母 $n$的代数式表示 $\frac{S\text{'}}{S}$．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $\mathit{\Delta ABC}$是边长为2的等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$上一点，小亮以 $\mathit{BE}$为边向 $\mathit{BE}$的右侧作等边三角形 $\mathit{BEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时， $\mathit{EF}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，点 $F$也随着运动，若四边形 $\mathit{ABFC}$的面积为 $\frac{7}{4}\sqrt{3}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上运动时， $\mathit{CF}$、 $\mathit{BE}$相交于点 $D$，请你探求 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1$与 $\mathit{\Delta DBF}$的面积 $S_2$之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{OAB}$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上，顶点 $B$的坐标为 $(6,8)$，直线 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $D(6,3)$，交 $x$轴于点 $C(12,0)$．

（1）求直线 $\mathit{CD}$的函数表达式；

（2）动点 $P$在 $x$轴上从点 $(-10,0)$出发，以每秒1个单位的速度向 $x$轴正方向运动，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $x$轴，设运动时间为 $t$．

①点 $P$在运动过程中，是否存在某个位置，使得 $\angle \mathit{PDA}=\angle B$，若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

②请探索当 $t$为何值时，在直线 $l$上存在点 $M$，在直线 $\mathit{CD}$上存在点 $Q$，使得以 $\mathit{OB}$为一边， $O$， $B$， $M$， $Q$为顶点的四边形为菱形，并求出此时 $t$的值．

如图，直线 $l_1//l_2//l_3$，直线 $\mathit{AC}$交 $l_1$， $l_2$， $l_3$于点 $A$， $B$， $C$；直线 $\mathit{DF}$交 $l_1$， $l_2$， $l_3$于点 $D$， $E$， $F$，已知 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{3}$，则 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DE}}=$　　．

如图， $\mathit{AM}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线， $D$是线段 $\mathit{AM}$上一点（不与点 $A$重合）． $\mathit{DE}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\mathit{CE}//\mathit{AM}$，连接 $\mathit{AE}$．

（1）如图1，当点 $D$与 $M$重合时，求证：四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形；

（2）如图2，当点 $D$不与 $M$重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）如图3，延长 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $H$，若 $\mathit{BH}\perp \mathit{AC}$，且 $\mathit{BH}=\mathit{AM}$．

①求 $\angle \mathit{CAM}$的度数；

②当 $\mathit{FH}=\sqrt{3}$， $\mathit{DM}=4$时，求 $\mathit{DH}$的长．

如图，已知直线 $a//b//c$，直线 $m$交直线 $a$， $b$， $c$于点 $A$， $B$， $C$，直线 $n$交直线 $a$， $b$， $c$于点 $D$， $E$， $F$，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{1}{2}$，则 $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{EF}}=($　　 $)$

A． $\frac{1}{3}$B． $\frac{1}{2}$C． $\frac{2}{3}$D．1

如图，已知 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的直径，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $P$， $\odot O$的弦 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，且 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．

（1）求证： $C{O}^2=\mathit{OF}·\mathit{OP}$；

（2）连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{CD}$于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$，若 $\mathit{PC}=4\sqrt{2}$， $\mathit{PB}=4$，求 $\mathit{GH}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别在边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上， $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$相交于点 $G$，若 $\mathit{AE}=3\mathit{ED}$， $\mathit{DF}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GF}}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{4}{3}$B． $\frac{5}{4}$C． $\frac{6}{5}$D． $\frac{7}{6}$

如图， $\mathit{DE}//\mathit{FG}//\mathit{BC}$，若 $\mathit{DB}=4\mathit{FB}$，则 $\mathit{EG}$与 $\mathit{GC}$的关系是 $($　　 $)$

A． $\mathit{EG}=4\mathit{GC}$B． $\mathit{EG}=3\mathit{GC}$C． $\mathit{EG}=\frac{5}{2}\mathit{GC}$D． $\mathit{EG}=2\mathit{GC}$

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{BC}\perp \mathit{CD}$， $E$为 $\mathit{AD}$的中点， $F$为线段 $\mathit{BE}$上的点，且 $\mathit{FE}=\frac{1}{3}\mathit{BE}$，则点 $F$到边 $\mathit{CD}$的距离是 $($　　 $)$

A．3B． $\frac{10}{3}$C．4D． $\frac{14}{3}$

如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则　　．

如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形， $\mathit{AF}$经过点 $C$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AF}$于点 $M$，观察发现：点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AF}$于点 $H$． $\dots$

请参考上面的思路，证明点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当 $\angle \mathit{ABE}=135°$时，延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{EF}$交于点 $N$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{NE}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=k(k$为大于 $\sqrt{2}$的常数），直接用含 $k$的代数式表示 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MF}}$的值．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A4$的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2}:1$，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{DC}$边上一定点，且 $\mathit{CP}=\mathit{BC}$，如图所示．

（1）如图①，求证： $\mathit{BA}=\mathit{BP}$；

（2）如图②，点 $Q$在 $\mathit{DC}$上，且 $\mathit{DQ}=\mathit{CP}$，若 $G$为 $\mathit{BC}$边上一动点，当 $\mathit{\Delta AGQ}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GB}}$的值；

（3）如图③，已知 $\mathit{AD}=1$，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$， $T$为 $\mathit{BF}$的中点， $M$、 $N$分别为线段 $\mathit{PF}$与 $\mathit{AB}$上的动点，且始终保持 $\mathit{PM}=\mathit{BN}$，请证明： $\mathit{\Delta MNT}$的面积 $S$为定值，并求出这个定值．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DF}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}$的平分线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{DF}$，点 $E$恰好为 $\mathit{DH}$的中点，若 $\mathit{AE}=3$， $\mathit{CD}=2$，则 $\mathit{GH}=($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=4$，若进行以下操作，在边 $\mathit{BC}$上从左到右依次取点 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $\dots$；过点 $D_1$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_1$、 $F_1$；过点 $D_2$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_2$、 $F_2$；过点 $D_3$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_3$、 $F_3\dots$，则 $4(D_1{E}_1+D_2{E}_2+\dots +D_{2019}{E}_{2019})+5(D_1{F}_1+D_2{F}_2+\dots +D_{2019}{F}_{2019})=$　        　．