初中数学平行线分线段成比例试题

问题：如图，在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ ， $\angle \mathit{DAB}$ ， $\angle \mathit{ABC}$ 的平分线 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{BF}$ 分别与直线 $\mathit{CD}$ 交于点 $E$ ， $F$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

答案： $\mathit{EF}=2$ ．

探究：（1）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ "去掉，其余条件不变．

①当点 $E$ 与点 $F$ 重合时，求 $\mathit{AB}$ 的长；

②当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，求 $\mathit{EF}$ 的长．

（2）把"问题"中的条件" $\mathit{AB}=8$ ， $\mathit{AD}=5$ "去掉，其余条件不变，当点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ 相邻两点间的距离相等时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$ 的值．

小丽在"红色研学"活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的"奔跑者"形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中 $\mathit{FM}=2\mathit{EM}$ ，则"奔跑者"两脚之间的跨度，即 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 之间的距离是 　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=4$ ，点 $E$ 是 $\mathit{AB}$ 边上一点， $\mathit{AE}=3$ ，连接 $\mathit{DE}$ ，点 $F$ 是 $\mathit{BC}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{AF}$ ，且 $\angle F=\frac{1}{2}\angle \mathit{EDC}$ ，则 $\mathit{CF}=$ 　　．

如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5m$ 的竹竿 $\mathit{AC}$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $\mathit{AD}$ 长为 $1m$ 时，它离地面的高度 $\mathit{DE}$ 为 $0.6m$ ，则坝高 $\mathit{CF}$ 为 　　 $m$ ．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$为线段 $\mathit{AB}$的三等分点（靠近点 $A)$，点 $F$为线段 $\mathit{CD}$的三等分点（靠近点 $C)$，且 $\mathit{CE}\perp \mathit{AB}$．将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{CE}$对折， $\mathit{BC}$边与 $\mathit{AD}$边交于点 $G$，且 $\mathit{DC}=\mathit{DG}$．

（1）证明：四边形 $\mathit{AECF}$为矩形；

（2）求四边形 $\mathit{AECG}$的面积．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，将此矩形折叠，使点 $C$与点 $A$重合，点 $D$落在点 $D\text{'}$处，折痕为 $\mathit{EF}$，则 $\mathit{AD}\text{'}$的长为 　　， $\mathit{DD}\text{'}$的长为 　　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}=5$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{OB}=2$ ，以 $\mathit{OB}$ 为半径的 $\odot O$ 与 $\mathit{AC}$ 相切于点 $D$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，则 $\mathit{CE}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{2}{3}$

C．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

D．

1

如图，已知线段 $\mathit{MN}=a$， $\mathit{AR}\perp \mathit{AK}$，垂足为 $A$．

（1）求作四边形 $\mathit{ABCD}$，使得点 $B$， $D$分别在射线 $\mathit{AK}$， $\mathit{AR}$上，且 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=a$， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设 $P$， $Q$分别为（1）中四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点，求证：直线 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{PQ}$相交于同一点．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$中， $\angle \mathit{AOB}=90°$， $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=4$，以点 $O$为圆心，2为半径的圆与 $\mathit{OB}$交于点 $C$，过点 $C$作 $\mathit{CD}\perp \mathit{OB}$交 $\mathit{AB}$于点 $D$，点 $P$是边 $\mathit{OA}$上的动点．当 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$最小时， $\mathit{OP}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B． $\frac{3}{4}$C．1D． $\frac{3}{2}$

如图，经过原点 $O$的直线与反比例函数 $y=\frac{a}{x}(a>0)$的图象交于 $A$， $D$两点（点 $A$在第一象限），点 $B$， $C$， $E$在反比例函数 $y=\frac{b}{x}(b<0)$的图象上， $\mathit{AB}//y$轴， $\mathit{AE}//\mathit{CD}//x$轴，五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积为56，四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为32，则 $a-b$的值为　　， $\frac{b}{a}$的值为　　．

图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$（点 $A$与点 $B$重合），点 $O$是夹子转轴位置， $\mathit{OE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{OF}\perp \mathit{BD}$于点 $F$， $\mathit{OE}=\mathit{OF}=1\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{BD}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CE}=\mathit{DF}$， $\mathit{CE}:\mathit{AE}=2:3$．按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点 $O$转动．

（1）当 $E$， $F$两点的距离最大时，以点 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形的周长是　　 $\mathit{cm}$．

（2）当夹子的开口最大（即点 $C$与点 $D$重合）时， $A$， $B$两点的距离为　　 $\mathit{cm}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{BO}$的延长线交边 $\mathit{AC}$于点 $D$．

[小题1]求证： $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{ABD}$；

[小题2]当 $\mathit{\Delta BCD}$是等腰三角形时，求 $\angle \mathit{BCD}$的大小；

[小题3]当 $\mathit{AD}=2$， $\mathit{CD}=3$时，求边 $\mathit{BC}$的长．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=4$， $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$交于点 $F$，则 $\mathit{DF}$的长为　　．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\sin A=\frac{5}{13}$， $\mathit{AC}=12$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $P$为线段 $A\text{'}{B}^{\text{'}}$上的动点， 以点 $P$为圆心， $\mathit{PA}\text{'}$长为半径作 $\odot P$，当 $\odot P$与 $\mathit{\Delta ABC}$的边相切时， $\odot P$的半径为　　．