初中数学相似三角形的判定与性质试题

如图所示， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 是 $\odot O$ 上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$ 交线段 $\mathit{OC}$ 于点 $E$ 、交过点 $C$ 的直线 $\mathit{CF}$ 于点 $F$ ，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$ ，且 $9(E{F}^2-C{F}^2)=O{C}^2$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{CF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）连接 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{DC}$ ，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$ ．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}\backsim \mathit{\Delta OBE}$ ；

②过点 $E$ 作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$ ，交线段 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{AC}$ 的中点，若 $\mathit{AD}=4$ ，求线段 $\mathit{MG}$ 的长度．

如图，点 $O$ 为以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心，点 $M$ ， $N$ 在直径 $\mathit{AB}$ 上，点 $P$ ， $Q$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上，四边形 $\mathit{MNPQ}$ 为正方形，点 $C$ 在 $\stackrel{̂}{\mathit{QP}}$ 上运动（点 $C$ 与点 $P$ ， $Q$ 不重合），连接 $\mathit{BC}$ 并延长交 $\mathit{MQ}$ 的延长线于点 $D$ ，连接 $\mathit{AC}$ 交 $\mathit{MQ}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OQ}$ ．

（1）求 $\sin \angle \mathit{AOQ}$ 的值；

（2）求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MN}}$ 的值；

（3）令 $\mathit{ME}=x$ ， $\mathit{QD}=y$ ，直径 $\mathit{AB}=2R(R>0$ ， $R$ 是常数），求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指明自变量 $x$ 的取值范围．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\angle A=60°$ ，点 $D$ 为 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ ，将线段 $\mathit{CD}$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $\alpha (60°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{ED}$ ，且 $\mathit{ED}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ， $\angle \mathit{CDE}$ 的平分线 $\mathit{DM}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $H$ ．

（1）如图1，若 $\alpha =90°$ ，则线段 $\mathit{ED}$ 与 $\mathit{BD}$ 的数量关系是 　　， $\frac{\mathit{GD}}{\mathit{CD}}=$ 　　；

（2）如图2，在（1）的条件下，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ．

①试判断四边形 $\mathit{CDEF}$ 的形状，并说明理由；

②求证： $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

（3）如图3，若 $\mathit{AC}=2$ ， $\tan (\alpha -60°)=m$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CF}//\mathit{DE}$ 交 $\mathit{DM}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{BE}$ ，请直接写出 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{FH}}$ 的值（用含 $m$ 的式子表示）．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AB}$ 的垂直平分线分别交 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ 、 $E$ ， $\mathit{BE}=8$ ， $\odot O$ 为 $\mathit{\Delta BCE}$ 的外接圆，过点 $E$ 作 $\odot O$ 的切线 $\mathit{EF}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ，则下列结论正确的是 　　 $.$ （写出所有正确结论的序号）

① $\mathit{AE}=\mathit{BC}$ ；

② $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{CBD}$ ；

③若 $\angle \mathit{DBE}=40°$ ，则 $\widehat{\mathit{DE}}$ 的长为 $\frac{8\pi }{9}$ ；

④ $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{EF}}=\frac{\mathit{EF}}{\mathit{BF}}$ ；

⑤若 $\mathit{EF}=6$ ，则 $\mathit{CE}=2.24$ ．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $E$ 是 $\odot O$ 上一动点，且不与 $A$ ， $B$ 两点重合， $\angle \mathit{EAB}$ 的平分线交 $\odot O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CD}\perp \mathit{AE}$ ，交 $\mathit{AE}$ 的延长线于点 $D$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $A{C}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{AO}$ ；

（3）如图2，原有条件不变，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{BC}$ ，延长 $\mathit{AB}$ 至点 $M$ ， $\angle \mathit{EBM}$ 的平分线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $P$ ， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\angle \mathit{CBM}$ 的平分线于点 $Q$ ．求证：无论点 $E$ 如何运动，总有 $\angle P=\angle Q$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中，点 $P$ 为斜边 $\mathit{BC}$ 上一动点，将 $\mathit{\Delta ABP}$ 沿直线 $\mathit{AP}$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B\text{'}$ ，连接 $\mathit{AB}\text{'}$ ， $\mathit{CB}\text{'}$ ， $\mathit{BB}\text{'}$ ， $\mathit{PB}\text{'}$ ．

（1）如图①，若 $\mathit{PB}\text{'}\perp \mathit{AC}$ ，证明： $\mathit{PB}\text{'}=\mathit{AB}\text{'}$ ．

（2）如图②，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{BP}=3\mathit{PC}$ ，求 $\cos \angle B\text{'}\mathit{AC}$ 的值．

（3）如图③，若 $\angle \mathit{ACB}=30°$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{AB}=\mathit{CB}\text{'}$ ．若存在，求此时 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{BC}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．

如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心 $A$ 沿 $x$ 轴移动，当 $\odot A$ 与直线 $l:y=\frac{5}{12}x$ 只有一个公共点时，点 $A$ 的坐标为 $($ 　　 $)$

A．

$(-12,0)$

B．

$(-13,0)$

C．

$(\pm 12,0)$

D．

$(\pm 13,0)$

如图，在半径为 $5\mathit{cm}$ 的 $\odot O$ 中， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{CD}$ 是过 $\odot O$ 上一点 $C$ 的直线，且 $\mathit{AD}\perp \mathit{DC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OE}=3\mathit{cm}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求 $\mathit{AD}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$ 的顶点坐标分别为 $O(0,0)$ ， $A(3,4)$ ， $B(6,0)$ ，动点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $O$ 出发，分别沿 $x$ 轴正方向和 $y$ 轴正方向运动，速度分别为每秒3个单位和每秒2个单位，点 $P$ 到达点 $B$ 时点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．过点 $Q$ 作 $\mathit{MN}//\mathit{OB}$ 分别交 $\mathit{AO}$ 、 $\mathit{AB}$ 于点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{PM}$ 、 $\mathit{PN}$ ．设运动时间为 $t$ （秒 $)$ ．

（1）求点 $M$ 的坐标（用含 $t$ 的式子表示）；

（2）求四边形 $\mathit{MNBP}$ 面积的最大值或最小值；

（3）是否存在这样的直线 $l$ ，总能平分四边形 $\mathit{MNBP}$ 的面积？如果存在，请求出直线 $l$ 的解析式；如果不存在，请说明理由；

（4）连接 $\mathit{AP}$ ，当 $\angle \mathit{OAP}=\angle \mathit{BPN}$ 时，求点 $N$ 到 $\mathit{OA}$ 的距离．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $N$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的一点， $D$ 为 $\mathit{AN}$ 的中点，过点 $A$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{CD}$ 的延长线于 $T$ ，且 $\mathit{AT}=\mathit{BN}$ ，连接 $\mathit{BT}$ ．

（1）求证： $\mathit{BN}=\mathit{CN}$ ；

（2）在图1中 $\mathit{AN}$ 上取一点 $O$ ，使 $\mathit{AO}=\mathit{OC}$ ，作 $N$ 关于边 $\mathit{AC}$ 的对称点 $M$ ，连接 $\mathit{MT}$ 、 $\mathit{MO}$ 、 $\mathit{OC}$ 、 $\mathit{OT}$ 、 $\mathit{CM}$ 得图2．

①求证： $\mathit{\Delta TOM}\backsim \mathit{\Delta AOC}$ ；

②设 $\mathit{TM}$ 与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $P$ ，求证： $\mathit{PD}//\mathit{CM}$ ， $\mathit{PD}=\frac{1}{2}\mathit{CM}$ ．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ，以 $\mathit{AB}$ 的中点 $O$ 为圆心， $\mathit{AB}$ 为直径的圆交 $\mathit{AC}$ 于 $D$ ， $E$ 是 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{DE}$ 交 $\mathit{BA}$ 的延长线于 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{FD}$ 是圆 $O$ 的切线：

（2）若 $\mathit{BC}=4$ ， $\mathit{FB}=8$ ，求 $\mathit{AB}$ 的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$ 中， $\mathit{AO}\perp \mathit{BO}$ ， $\mathit{AB}\perp y$ 轴， $O$ 为坐标原点， $A$ 的坐标为 $(n,\sqrt{3})$ ，反比例函数 $y_1=\frac{k_1}{x}$ 的图象的一支过 $A$ 点，反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}$ 的图象的一支过 $B$ 点，过 $A$ 作 $\mathit{AH}\perp x$ 轴于 $H$ ，若 $\mathit{\Delta AOH}$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

（1）求 $n$ 的值；

（2）求反比例函数 $y_2$ 的解析式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $O$是对角线 $\mathit{BD}$上一点 $(\mathit{BO}>\mathit{DO})$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $E$，以 $\mathit{OE}$为半径的 $\odot O$分别交 $\mathit{DC}$于点 $H$，交 $\mathit{EO}$的延长线于点 $F$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{DC}$交于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{BC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $G$是 $\mathit{OF}$的中点， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{DG}=1$．

①求 $\stackrel{̂}{\mathit{HE}}$的长；

②求 $\mathit{AD}$的长．