初中数学相似形综合题试题

如图，过锐角 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$恰好平分 $\angle \mathit{DAC}$， $\mathit{AF}$平分 $\angle \mathit{EAC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $F$．在 $\mathit{AF}$上取点 $M$，使得 $\mathit{AM}=\frac{1}{3}\mathit{AF}$，连接 $\mathit{CM}$并延长交直线 $\mathit{DE}$于点 $H$．若 $\mathit{AC}=2$， $\mathit{\Delta AMH}$的面积是 $\frac{1}{12}$，则 $\frac{1}{\tan \angle \mathit{ACH}}$的值是　　．

如图（1），已知点 $G$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$上， $\mathit{GE}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{CD}$，垂足为点 $F$．

（1）证明与推断：

①求证：四边形 $\mathit{CEGF}$是正方形；

②推断： $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BE}}$的值为　     　

（2）探究与证明：

将正方形 $\mathit{CEGF}$绕点 $C$顺时针方向旋转 $\alpha$角 $(0°<\alpha <45°)$，如图（2）所示，试探究线段 $\mathit{AG}$与 $\mathit{BE}$之间的数量关系，并说明理由；

（3）拓展与运用：

正方形 $\mathit{CEGF}$在旋转过程中，当 $B$， $E$， $F$三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 $\mathit{CG}$交 $\mathit{AD}$于点 $H$．若 $\mathit{AG}=6$， $\mathit{GH}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{BC}=$　    　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $E$、 $F$分别为线段 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上的点（不与 $A$、 $B$、 $C$重合）．

（1）如图1，若 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，求证： $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}=\frac{\mathit{AE}·\mathit{AF}}{\mathit{AB}·\mathit{AC}}$

（2）如图2，若 $\mathit{EF}$不与 $\mathit{BC}$平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若 $\mathit{EF}$上一点 $G$恰为 $\mathit{\Delta ABC}$的重心， $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AB}}=\frac{3}{4}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta AEF}}}{S_{\mathit{\Delta ABC}}}$的值．

已知四边形 $\mathit{ABCD}$的一组对边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$的延长线交于点 $E$．

（1）如图1，若 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ADC}=90°$，求证： $\mathit{ED}\cdot \mathit{EA}=\mathit{EC}\cdot \mathit{EB}$；

（2）如图2，若 $\angle \mathit{ABC}=120°$， $\cos \angle \mathit{ADC}=\frac{3}{5}$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{AB}=12$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为6，求四边形 $\mathit{ABCD}$的面积；

（3）如图3，另一组对边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{DC}$的延长线相交于点 $F$．若 $\cos \angle \mathit{ABC}=\cos \angle \mathit{ADC}=\frac{3}{5}$， $\mathit{CD}=5$， $\mathit{CF}=\mathit{ED}=n$，直接写出 $\mathit{AD}$的长（用含 $n$的式子表示）

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A4$的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2}:1$，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{DC}$边上一定点，且 $\mathit{CP}=\mathit{BC}$，如图所示．

（1）如图①，求证： $\mathit{BA}=\mathit{BP}$；

（2）如图②，点 $Q$在 $\mathit{DC}$上，且 $\mathit{DQ}=\mathit{CP}$，若 $G$为 $\mathit{BC}$边上一动点，当 $\mathit{\Delta AGQ}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GB}}$的值；

（3）如图③，已知 $\mathit{AD}=1$，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$， $T$为 $\mathit{BF}$的中点， $M$、 $N$分别为线段 $\mathit{PF}$与 $\mathit{AB}$上的动点，且始终保持 $\mathit{PM}=\mathit{BN}$，请证明： $\mathit{\Delta MNT}$的面积 $S$为定值，并求出这个定值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}=4$， $\angle \mathit{ACB}=90°$，正方形 $\mathit{BDEF}$的边长为2，将正方形 $\mathit{BDEF}$绕点 $B$旋转一周，连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$．

（1）请找出图中与 $\mathit{\Delta ABE}$相似的三角形，并说明理由；

（2）求当 $A$、 $E$、 $F$三点在一直线上时 $\mathit{CD}$的长；

（3）设 $\mathit{AE}$的中点为 $M$，连接 $\mathit{FM}$，试求 $\mathit{FM}$长的取值范围．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=2$， $\mathit{AD}=4$． $E$， $F$分别在 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上，点 $A$与点 $C$关于 $\mathit{EF}$所在的直线对称， $P$是边 $\mathit{DC}$上的一动点．

（1）连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{CE}$，求证四边形 $\mathit{AFCE}$是菱形；

（2）当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{CP}}$的值；

（3）连接 $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $M$，当 $\angle \mathit{EMP}=45°$时，求 $\mathit{CP}$的长．

已知： $A$、 $B$两点在直线 $l$的同一侧，线段 $\mathit{AO}$， $\mathit{BM}$均是直线 $l$的垂线段，且 $\mathit{BM}$在 $\mathit{AO}$的右边， $\mathit{AO}=2\mathit{BM}$，将 $\mathit{BM}$沿直线 $l$向右平移，在平移过程中，始终保持 $\angle \mathit{ABP}=90°$不变， $\mathit{BP}$边与直线 $l$相交于点 $P$．

（1）当 $P$与 $O$重合时（如图2所示），设点 $C$是 $\mathit{AO}$的中点，连接 $\mathit{BC}$．求证：四边形 $\mathit{OCBM}$是正方形；

（2）请利用如图1所示的情形，求证： $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PB}}=\frac{\mathit{OM}}{\mathit{BM}}$；

（3）若 $\mathit{AO}=2\sqrt{6}$，且当 $\mathit{MO}=2\mathit{PO}$时，请直接写出 $\mathit{AB}$和 $\mathit{PB}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $O$， $E$是 $\mathit{BD}$上一点， $\mathit{EF}//\mathit{AB}$， $\angle \mathit{EAB}=\angle \mathit{EBA}$，过点 $B$作 $\mathit{DA}$的垂线，交 $\mathit{DA}$的延长线于点 $G$．

（1） $\angle \mathit{DEF}$和 $\angle \mathit{AEF}$是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；

（2）找出图中与 $\mathit{\Delta AGB}$相似的三角形，并证明；

（3） $\mathit{BF}$的延长线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $H$，交 $\mathit{AC}$于点 $M$．求证： $B{M}^2=\mathit{MF}·\mathit{MH}$．

（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$在线段 $\mathit{BC}$上， $\angle \mathit{BAO}=30°$， $\angle \mathit{OAC}=75°$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\mathit{BO}:\mathit{CO}=1:3$，求 $\mathit{AB}$的长．

经过社团成员讨论发现，过点 $B$作 $\mathit{BD}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{AO}$的延长线于点 $D$，通过构造 $\mathit{\Delta ABD}$就可以解决问题（如图 $2)$．

请回答： $\angle \mathit{ADB}=$　　 $°$， $\mathit{AB}=$　　．

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AO}=3\sqrt{3}$， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=75°$， $\mathit{BO}:\mathit{OD}=1:3$，求 $\mathit{DC}$的长．

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAB}=\angle \mathit{ABD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，垂足为 $E$，求证： $\mathit{BC}=2\mathit{AE}$．

小明经探究发现，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，得到 $\angle \mathit{AFB}=\angle \mathit{BEA}$，从而可证 $\mathit{\Delta ABF}\cong \mathit{\Delta BAE}$（如图 $2)$，使问题得到解决．

（1）根据阅读材料回答： $\mathit{\Delta ABF}$与 $\mathit{\Delta BAE}$全等的条件是　　（填“ $\mathit{SSS}$”、“ $\mathit{SAS}$”、“ $\mathit{ASA}$”、“ $\mathit{AAS}$”或“ $\mathit{HL}$”中的一个）

参考小明思考问题的方法，解答下列问题：

（2）如图3， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $E$为 $\mathit{DC}$的中点，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDF}=\angle \mathit{EAC}$，若 $\mathit{CF}=2$，求 $\mathit{AB}$的长；

（3）如图4， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$边上，且 $\mathit{AD}=\mathit{kDB}$（其中 $0<k<\frac{\sqrt{3}}{3})$， $\angle \mathit{AED}=\angle \mathit{BCD}$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{EC}}$的值（用含 $k$的式子表示）．

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AB}$边上的一点，点 $F$为对角线 $\mathit{BD}$上的一点，且 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$．

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$为正方形．

①如图1，请直接写出 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系　 $\mathit{DF}=\sqrt{2}\mathit{AE}$　；

②将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$逆时针旋转到图2所示的位置，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}$，猜想 $\mathit{AE}$与 $\mathit{DF}$的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $\mathit{BC}=\mathit{mAB}$，其它条件都不变，将 $\mathit{\Delta EBF}$绕点 $B$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$得到△ $E^{\text{'}}B{F}^{\text{'}}$，连接 $A{E}^{\text{'}}$， $D{F}^{\text{'}}$，请在图3中画出草图，并直接写出 $A{E}^{\text{'}}$与 $D{F}^{\text{'}}$的数量关系．

如图， $\mathit{OF}$是 $\angle \mathit{MON}$的平分线，点 $A$在射线 $\mathit{OM}$上， $P$， $Q$是直线 $\mathit{ON}$上的两动点，点 $Q$在点 $P$的右侧，且 $\mathit{PQ}=\mathit{OA}$，作线段 $\mathit{OQ}$的垂直平分线，分别交直线 $\mathit{OF}$、 $\mathit{ON}$于点 $B$、点 $C$，连接 $\mathit{AB}$、 $\mathit{PB}$．

（1）如图1，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上时，请直接写出线段 $\mathit{AB}$与 $\mathit{PB}$的数量关系；

（2）如图2，当 $P$、 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$的反向延长线上时，线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{PB}$是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

（3）如图3， $\angle \mathit{MON}=60°$，连接 $\mathit{AP}$，设 $\frac{\mathit{AP}}{\mathit{OQ}}=k$，当 $P$和 $Q$两点都在射线 $\mathit{ON}$上移动时， $k$是否存在最小值？若存在，请直接写出 $k$的最小值；若不存在，请说明理由．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$按如图所示方式放置，点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，连接 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$和 $\mathit{CE}$，且 $\angle \mathit{DCE}=90°$．

（1）如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$均为等边三角形时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（2）如图②，当 $\mathit{BA}=\mathit{BC}=2\mathit{AC}$， $\mathit{DA}=\mathit{DE}=2\mathit{AE}$时，试确定 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系，并说明理由；

（3）如图③，当 $\mathit{AB}:\mathit{BC}:\mathit{AC}=\mathit{AD}:\mathit{DE}:\mathit{AE}=m:n:p$时，请直接写出 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$三条线段的关系．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{AB}$上，点 $E$是 $\mathit{BC}$延长线上一点，且 $\mathit{AD}=\mathit{CE}$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）猜想证明：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，学生们发现： $\mathit{DF}=\mathit{EF}$．下面是两位学生的证明思路：

思路1：过点 $D$作 $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $G$，可证 $\mathit{\Delta DFG}\cong \mathit{\Delta EFC}$得出结论；

思路2：过点 $E$作 $\mathit{EH}//\mathit{AB}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $H$，可证 $\mathit{\Delta ADF}\cong \mathit{\Delta HEF}$得出结论；

$\dots$

请你参考上面的思路，证明 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$（只用一种方法证明即可）．

（2）类比探究：在（1）的条件下（如图 $1)$，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AC}$于点 $M$，试探究线段 $\mathit{AM}$， $\mathit{MF}$， $\mathit{FC}$之间满足的数量关系，并证明你的结论．

（3）延伸拓展：如图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{ABC}=2\angle \mathit{BAC}$， $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=m$，请你用尺规作图在图2中作出 $\mathit{AD}$的垂直平分线交 $\mathit{AC}$于点 $N$（不写作法，只保留作图痕迹），并用含 $m$的代数式直接表示 $\frac{\mathit{NF}}{\mathit{AC}}$的值．