初中数学解直角三角形试题

数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬 $44°$ ，求北纬 $44°$ 纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：

（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；

（2）如图， $\odot O$ 是经过南、北极的圆，地球半径 $\mathit{OA}$ 约为 $6400\mathit{km}$ ．弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ，过点 $O$ 作 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ 于点 $K$ ，连接 $\mathit{OB}$ ．若 $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，则以 $\mathit{BK}$ 为半径的圆的周长是北纬 $44°$ 纬线的长度；

（3）参考数据： $\pi$ 取3， $\sin 44°=0.69$ ， $\cos 44°=0.72$ ．

小组成员给出了如下解答，请你补充完整：

解：因为 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$ ， $\angle \mathit{AOB}=44°$ ，

所以 $\angle B=\angle \mathit{AOB}=44°($ 　　 $)$ （填推理依据），

因为 $\mathit{OK}\perp \mathit{BC}$ ，所以 $\angle \mathit{BKO}=90°$ ，

在 $\text{Rt}\Delta \text{BOK}$ 中， $\mathit{OB}=\mathit{OA}=6400$ ．

$\mathit{BK}=\mathit{OB}\times$ 　　（填" $\sin B$ "或" $\cos B$ " $)$ ．

所以北纬 $44°$ 的纬线长 $C=2\pi \cdot \mathit{BK}$ ．

$=2\times 3\times 6400\times$ 　　（填相应的三角形函数值）

$\approx$ 　　 $\left(\mathit{km}\right)$ （结果取整数）．

如图所示，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在线段 $\mathit{CD}$ 上，点 $F$ 在线段 $\mathit{AB}$ 的延长线上，连接 $\mathit{EF}$ 交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{BD}$ ，若 $\mathit{DE}=\mathit{BF}=2$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{BFED}$ 是平行四边形；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ABD}=\frac{2}{3}$ ，求线段 $\mathit{BG}$ 的长度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $E$ ．若 $\sin \angle \mathit{ADE}=\frac{4}{5}$ ， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $D$ 为 $\odot O$ 上一点， $E$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$ 的中点，点 $C$ 在 $\mathit{BA}$ 的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle B$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{DE}=2$ ， $\angle \mathit{BDE}=30°$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\angle \mathit{BAC}=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的直径，若 $\mathit{AD}=3$ ，则 $\mathit{BC}=($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{3}$

B．

$3\sqrt{3}$

C．

3

D．

4

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ， $\mathit{AC}=2\sqrt{3}$ ， $\mathit{BC}=3$ ．点 $P$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 内一点，且满足 $P{A}^2+P{C}^2=A{C}^2$ ．当 $\mathit{PB}$ 的长度最小时， $\mathit{\Delta ACP}$ 的面积是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

$3\sqrt{3}$

C．

$\frac{3\sqrt{3}}{4}$

D．

$\frac{3\sqrt{3}}{2}$

如图，在边长为2的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，若将 $\mathit{AB}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$ ，使点 $B$ 落在点 $B\text{'}$ 的位置，连接 $\mathit{BB}\text{'}$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BB}\text{'}$ ，交 $\mathit{BB}\text{'}$ 的延长线于点 $E$ ，则 $B\text{'}E$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{3}-1$

B．

$2\sqrt{3}-2$

C．

$\frac{2}{3}\sqrt{3}$

D．

$\frac{4}{3}\sqrt{3}$

如图所示，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B＝90°$， $\mathit{AB}＝2$， $\mathit{CD}＝8$．连接AC， $\mathit{AC}\perp \mathit{CD}$，若 $\mathit{sin}\angle \mathit{ACB}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}=\frac{1}{3}$，则AD长度是　 　．

如图1，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}＝6\mathit{cm}$， $\mathit{AC}＝5\mathit{cm}$， $\angle \mathit{CAB}＝60°$，点D为AB的中点，线段 $\mathit{AC}$上有一动点E，连接DE，作DA关于直线DE的对称图形，得到 $\mathit{DF}$，过点F作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AB}$于点G．设A、E两点间的距离为 $\mathit{xcm}$， $F，G$两点间的距离为 $\mathit{ycm}．$

小军根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小军的探究过程，请补充完整．

（1）列表：如表的已知数据是根据A，E两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了x与y的几组对应值：

x/cm	0	0.51	1.03	1.41	1.50	1.75	2.20	2.68	3.00	3.61	4.10	4.74	5.00
y/cm	0	0.94	1.91	2.49		2.84	3.00	2.84	2.60	2.00	1.50	0.90	0.68

请你通过计算补全表格；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中（如图2），描出表中各组数值所对应的点 $（x，y）$，并画出y关于x的图象；

（3）探究性质：随着x值的不断增大，y的值是怎样变化的？　　；

（4）解决问题：当 $\mathit{AE}+\mathit{FG}＝2$时，FG的长度大约是　　cm（保留两位小数）．

如图，平面直角坐标系中，点 $B$在第一象限，点 $A$在 $x$轴的正半轴上， $\angle \mathit{AOB}=\angle B=30°$， $\mathit{OA}=2$．将 $\mathit{\Delta AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$，点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$的坐标是 $($　　 $)$

A． $(-\sqrt{3}$， $3)$B． $(-3,\sqrt{3})$C． $(-\sqrt{3}$， $2+\sqrt{3})$D． $(-1,2+\sqrt{3})$

如图，在 $4\times 5$的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么 $\sin \angle \mathit{ACB}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$B． $\frac{\sqrt{17}}{5}$C． $\frac{3}{5}$D． $\frac{4}{5}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\sqrt{3}+2$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}$．把 $\mathit{AD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $D$恰好落在 $\mathit{AB}$边上的 $D\text{'}$处，再将 $\mathit{\Delta AED}\text{'}$绕点 $E$顺时针旋转 $\alpha$，得到△ $A^{\text{'}}\mathit{ED}\text{'}\text{'}$，使得 $\mathit{EA}\text{'}$恰好经过 $\mathit{BD}\text{'}$的中点 $F$． $A\text{'}D\text{'}\text{'}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，连接 $\mathit{AA}\text{'}$．有如下结论：① $A\text{'}F$的长度是 $\sqrt{6}-2$；②弧 $D^{\text{'}}D\text{'}\text{'}$的长度是 $\frac{5\sqrt{3}}{12}\pi$；③△ $A\text{'}\mathit{AF}\cong$△ $A\text{'}\mathit{EG}$；④△ $\mathit{AA}\text{'}F\backsim \mathit{\Delta EGF}$．上述结论中，所有正确的序号是　    　．

如图， $C$， $D$为 $\odot O$上两点，且在直径 $\mathit{AB}$两侧，连结 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $G$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\angle \mathit{ADC}=\angle G$．

（1）求证： $\angle 1=\angle 2$．

（2）点 $C$关于 $\mathit{DG}$的对称点为 $F$，连结 $\mathit{CF}$．当点 $F$落在直径 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{CF}=10$， $\tan \angle 1=\frac{2}{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以其三边为边向外作正方形，过点 $C$作 $\mathit{CR}\perp \mathit{FG}$于点 $R$，再过点 $C$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{CR}$分别交边 $\mathit{DE}$， $\mathit{BH}$于点 $P$， $Q$．若 $\mathit{QH}=2\mathit{PE}$， $\mathit{PQ}=15$，则 $\mathit{CR}$的长为 $($　　 $)$

A．14B．15C． $8\sqrt{3}$D． $6\sqrt{5}$

如图，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $A$， $B$， $C$在 $\odot O$上，过点 $B$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{OA}$的延长线于点 $D$．若 $\odot O$的半径为1，则 $\mathit{BD}$的长为 $($　　 $)$

A．1B．2C． $\sqrt{2}$D． $\sqrt{3}$