初中数学解直角三角形试题

尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：

①将半径为 $r$的 $\odot O$六等分，依次得到 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$， $F$六个分点；

②分别以点 $A$， $D$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径画弧， $G$是两弧的一个交点；

③连接 $\mathit{OG}$．

问： $\mathit{OG}$的长是多少？

大臣给出的正确答案应是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{3}r$B． $(1+\frac{\sqrt{2}}{2})r$C． $(1+\frac{\sqrt{3}}{2})r$D． $\sqrt{2}r$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\odot O$（圆心 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部）经过 $B$、 $C$两点，交 $\mathit{AB}$于点 $E$，过点 $E$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{AC}$于点 $F$．延长 $\mathit{CO}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，作 $\mathit{ED}//\mathit{AC}$交 $\mathit{CG}$于点 $D$

（1）求证：四边形 $\mathit{CDEF}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{BC}=3$， $\tan \angle \mathit{DEF}=2$，求 $\mathit{BG}$的值．

如图，一辆小车沿倾斜角为 $\alpha$的斜坡向上行驶13米，已知 $\cos \alpha =\frac{12}{13}$，则小车上升的高度是 $($　　 $)$

A．5米B．6米C．6.5米D．12米

如图，抛物线 $y=\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{4}x+c$与 $x$轴的负半轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$，连接 $\mathit{AB}$，点 $C(6,\frac{15}{2})$在抛物线上，直线 $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求 $c$的值及直线 $\mathit{AC}$的函数表达式；

（2）点 $P$在 $x$轴正半轴上，点 $Q$在 $y$轴正半轴上，连接 $\mathit{PQ}$与直线 $\mathit{AC}$交于点 $M$，连接 $\mathit{MO}$并延长交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $M$为 $\mathit{PQ}$的中点．

①求证： $\mathit{\Delta APM}\backsim \mathit{\Delta AON}$；

②设点 $M$的横坐标为 $m$，求 $\mathit{AN}$的长（用含 $m$的代数式表示）．

在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$的四边 $\mathit{BA}$、 $\mathit{CB}$、 $\mathit{DC}$、 $\mathit{AD}$分别延长至 $E$、 $F$、 $G$、 $H$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{CG}$， $\mathit{BF}=\mathit{DH}$，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$， $\mathit{GH}$， $\mathit{HE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{EFGH}$为平行四边形；

（2）若矩形 $\mathit{ABCD}$是边长为1的正方形，且 $\angle \mathit{FEB}=45°$， $\tan \angle \mathit{AEH}=2$，求 $\mathit{AE}$的长．

以 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的锐角顶点 $A$为圆心，适当长为半径作弧，与边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点 $A$作直线，与边 $\mathit{BC}$交于点 $D$．若 $\angle \mathit{ADB}=60°$，点 $D$到 $\mathit{AC}$的距离为2，则 $\mathit{AB}$的长为　　．

一副含 $30°$和 $45°$角的三角板 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$叠合在一起，边 $\mathit{BC}$与 $\mathit{EF}$重合， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=12\mathit{cm}$（如图 $1)$，点 $G$为边 $\mathit{BC}\left(\mathit{EF}\right)$的中点，边 $\mathit{FD}$与 $\mathit{AB}$相交于点 $H$，此时线段 $\mathit{BH}$的长是　　．现将三角板 $\mathit{DEF}$绕点 $G$按顺时针方向旋转（如图 $2)$，在 $\angle \mathit{CGF}$从 $0°$到 $60°$的变化过程中，点 $H$相应移动的路径长共为　　．（结果保留根号）

如图， $O$为 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的直角边 $\mathit{AC}$上一点，以 $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$，交 $\mathit{OA}$于点 $E$．已知 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=3$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在对角线 $\mathit{BD}$上（不与点 $B$， $D$重合）， $\mathit{GE}\perp \mathit{DC}$于点 $E$， $\mathit{GF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）写出线段 $\mathit{AG}$， $\mathit{GE}$， $\mathit{GF}$长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1， $\angle \mathit{AGF}=105°$，求线段 $\mathit{BG}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=12$， $E$为 $\mathit{AC}$边的中点，线段 $\mathit{BE}$的垂直平分线交边 $\mathit{BC}$于点 $D$．设 $\mathit{BD}=x$， $\tan \angle \mathit{ACB}=y$，则 $($　　 $)$

A． $x-y^2=3$B． $2x-y^2=9$C． $3x-y^2=15$D． $4x-y^2=21$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{BC}$边上一点，以 $\mathit{DB}$为直径的 $\odot O$经过 $\mathit{AB}$的中点 $E$，交 $\mathit{AD}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．

（1）求证： $\angle 1=\angle F$．

（2）若 $\sin B=\frac{\sqrt{5}}{5}$， $\mathit{EF}=2\sqrt{5}$，求 $\mathit{CD}$的长．

如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转 $90°$，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为 $60°$，边长为2，则该“星形”的面积是　　．

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45°$的三角板的斜边与含 $30°$的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$， $C$， $E$在同一直线上，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{AF}$的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含 $45°$的三角板的斜边与含 $30°$的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 $B$， $C$， $E$在同一直线上，若 $\mathit{BC}=2$，求 $\mathit{AF}$的长．

请你运用所学的数学知识解决这个问题．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle B=90°$， $\angle A=30°$，以点 $A$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧交 $\mathit{AB}$于点 $D$，分别以点 $A$、 $D$为圆心， $\mathit{AB}$长为半径画弧，两弧交于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$，则 $\angle \mathit{EAD}$的余弦值是 $($　　 $)$

A． $\frac{\sqrt{3}}{12}$B． $\frac{\sqrt{3}}{6}$C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$