初中数学解直角三角形试题

如图， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的弦， $M$ 为 $\mathit{BC}$ 的中点， $\mathit{OM}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $F$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$ ，交 $\mathit{BC}$ 的延长线于点 $E$ ，且 $\mathit{CD}$ 平分 $\angle \mathit{ACE}$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\angle \mathit{CDE}=\angle \mathit{DBE}$ ；

（3）若 $\mathit{DE}=6$ ， $\tan \angle \mathit{CDE}=\frac{2}{3}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 边长为1， $E$ 为 $\mathit{AB}$ 边上一点，以点 $D$ 为中心，将 $\mathit{\Delta DAE}$ 按逆时针方向旋转得 $\mathit{\Delta DCF}$ ，连接 $\mathit{EF}$ ，分别交 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ， $N$ ．若 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{DN}}=\frac{2}{5}$ ，则 $\sin \angle \mathit{EDM}=$ 　　．

如图，点 $D$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，过 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AB}$ 延长线于点 $C$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ 于点 $E$ ，交 $\odot O$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{FD}$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{DAE}=\angle \mathit{DAC}$ ；

（2）求证： $\mathit{DF}\cdot \mathit{AC}=\mathit{AD}\cdot \mathit{DC}$ ；

（3）若 $\sin \angle C=\frac{1}{4}$ ， $\mathit{AD}=4\sqrt{10}$ ，求 $\mathit{EF}$ 的长．

学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 $\mathit{AEFD}$ 为矩形，点 $B$ 、 $C$ 分别在 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{DF}$ 上， $\angle \mathit{ABC}=90°$ ， $\angle \mathit{BAD}=53°$ ， $\mathit{AB}=10\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$ ．求零件的截面面积．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$ ， $\cos 53°\approx 0.60$ ．

已知，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．

（1）如图1，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$边上， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．试探究 $\mathit{BD}$与 $\mathit{CE}$的关系；

（2）如图2，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方， $\angle \mathit{DAE}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，连结 $\mathit{CE}$．若 $\mathit{BD}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{AB}=2\sqrt{10}$， $\mathit{CE}=2$， $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $F$，求 $\mathit{AF}$的长；

（3）如图3，已知点 $D$在 $\mathit{BC}$下方，连结 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．若 $\angle \mathit{CBD}=30°$， $\angle \mathit{BAD}>15°$， $A{B}^2=6$， $A{D}^2=4+\sqrt{3}$，求 $\sin \angle \mathit{BCD}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $E$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\tan E=\frac{3}{4}$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{BAD}=120°$， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $E$．连结 $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$，交 $\mathit{CD}$于点 $G$． $\mathit{FH}\perp \mathit{CD}$于点 $H$，连结 $\mathit{CF}$．有下列结论：① $\mathit{AF}=\mathit{CF}$；② $A{F}^2=\mathit{EF}\cdot \mathit{FG}$；③ $\mathit{FG}:\mathit{EG}=4:5$；④ $\cos \angle \mathit{GFH}=\frac{3\sqrt{21}}{14}$．其中所有正确结论的序号为 　　．

如图1， $D$为 $\odot O$上一点，点 $C$在直径 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{CDA}=\angle \mathit{CBD}$．

（1）判断直线 $\mathit{CD}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\tan \angle \mathit{ADC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{AC}=2$，求 $\odot O$的半径；

（3）如图2，在（2）的条件下， $\angle \mathit{ADB}$的平分线 $\mathit{DE}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连结 $\mathit{BE}$．求 $\sin \angle \mathit{DBE}$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{AB}$，对角线相交于点 $O$，动点 $M$从点 $B$向点 $A$运动（到点 $A$即停止），点 $N$是 $\mathit{AD}$上一动点，且满足 $\angle \mathit{MON}=90°$，连结 $\mathit{MN}$．在点 $M$、 $N$运动过程中，则以下结论正确的是 　　．（写出所有正确结论的序号）

①点 $M$、 $N$的运动速度不相等；

②存在某一时刻使 $S_{\mathit{\Delta AMN}}=S_{\mathit{\Delta MON}}$；

③ $S_{\mathit{\Delta AMN}}$逐渐减小；

④ $M{N}^2=B{M}^2+D{N}^2$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $O$是角平分线 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$的交点，若 $\mathit{AB}=\mathit{AC}=10$， $\mathit{BC}=12$，则 $\tan \angle \mathit{OBD}$的值是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{2}$B．2C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 分别与 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AC}$ 交于点 $D$ ， $E$ ，过点 $D$ 作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$ ，垂足为点 $F$ ，若 $\odot O$ 的半径为 $4\sqrt{3}$ ， $\angle \mathit{CDF}=15°$ ，则阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

A．

$16\pi -12\sqrt{3}$

B．

$16\pi -24\sqrt{3}$

C．

$20\pi -12\sqrt{3}$

D．

$20\pi -24\sqrt{3}$

如图，点 $E$在正方形 $\mathit{ABCD}$边 $\mathit{AD}$上，点 $F$是线段 $\mathit{AB}$上的动点（不与点 $A$重合）， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{DE}=\frac{1}{3}$．

（1）求 $\tan \angle \mathit{ACE}$；

（2）设 $\mathit{AF}=x$， $\mathit{GH}=y$，试探究 $y$与 $x$的函数关系式（写出 $x$的取值范围）；

（3）当 $\angle \mathit{ADF}=\angle \mathit{ACE}$时，判断 $\mathit{EG}$与 $\mathit{AC}$的位置关系并说明理由．

在锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A$ ， $\angle B$ ， $\angle C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，有以下结论： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ （其中 $R$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆半径）成立．在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，若 $\angle A=75°$ ， $\angle B=45°$ ， $c=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆面积为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{16\pi }{3}$

B．

$\frac{64\pi }{3}$

C．

$16\pi$

D．

$64\pi$

如图，已知点 $C$ 是以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆上一点， $D$ 是 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，过点 $D$ 作 $\mathit{BD}$ 的垂线交 $\mathit{AC}$ 的延长线于点 $E$ ，连结 $\mathit{CD}$ ，且 $\mathit{CD}=\mathit{ED}$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\tan \angle \mathit{DCE}=2$ ， $\mathit{BD}=1$ ，求 $\odot O$ 的半径．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$，有一个锐角为 $60°$， $\mathit{AB}=4$．若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上（不与点 $A$， $B$重合），且 $\angle \mathit{PCB}=30°$，则 $\mathit{CP}$的长为　　．