初中数学解直角三角形的应用-坡度坡角问题试题

如图1，水坝的横截面是梯形 $\mathit{ABCD}$， $\angle \mathit{ABC}=37°$，坝顶 $\mathit{DC}=3m$，背水坡 $\mathit{AD}$的坡度 $i$（即 $\tan \angle \mathit{DAB})$为 $1:0.5$，坝底 $\mathit{AB}=14m$．

（1）求坝高；

（2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得 $\mathit{AE}=2\mathit{DF}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{BF}$，求 $\mathit{DF}$的长．（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有30级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡的坡度，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）

如图，这是一座一侧有缓步台的过街天桥示意图．已知桥面 $\mathit{BC}$长为 $10m$，与水平面的垂直距离为 $6m$，桥面 $\mathit{DE}$长为 $6m$，与水平面的垂直距离为 $4m$．斜坡 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$与水平面的夹角分别为 $45°$， $27°$，斜坡 $\mathit{EF}$的坡度（即 $\mathit{EQ}:\mathit{FQ})$为 $2:3$．求天桥跨度 $\mathit{AF}$的长．

参考数据： $(\sin 27°\approx \frac{9}{20}$， $\cos 27°\approx \frac{9}{10}$， $\tan 27°\approx \frac{1}{2})$

如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 $E$ 点处测得旗杆顶端的仰角 $\angle \mathit{AED}=58°$ ，升旗台底部到教学楼底部的距离 $\mathit{DE}=7$ 米，升旗台坡面 $\mathit{CD}$ 的坡度 $i=1:0.75$ ，坡长 $\mathit{CD}=2$ 米，若旗杆底部到坡面 $\mathit{CD}$ 的水平距离 $\mathit{BC}=1$ 米，则旗杆 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$ （参考数据： $\sin 58°\approx 0.85$ ， $\cos 58°\approx 0.53$ ， $\tan 58°\approx 1.6)$

A．

12.6米

B．

13.1米

C．

14.7米

D．

16.3米

如图，垂直于水平面的 $5G$ 信号塔 AB建在垂直于水平面的悬崖边 B点处，某测量员从山脚 C点出发沿水平方向前行78米到 D点（点 A， B， C在同一直线上），再沿斜坡 $\mathit{DE}$ 方向前行78米到 E点（点 A， B， C， D， E在同一平面内），在点 E处测得 $5G$ 信号塔顶端 A的仰角为43°，悬崖 BC的高为144.5米，斜坡 DE的坡度（或坡比） $i＝1：2.4$ ，则信号塔 AB的高度约为（　　）

（参考数据： $\mathit{sin}43°\approx 0.68$ ， $\mathit{cos}43°\approx 0.73$ ， $\mathit{tan}43°\approx 0.93$ ）

A．

23米

B．

24米

C．

24.5米

D．

25米

如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆 $\mathit{ED}$ ，从办公楼顶端 $A$ 测得旗杆顶端 $E$ 的俯角 $\alpha$ 是 $45°$ ，旗杆底端 $D$ 到大楼前梯坎底边的距离 $\mathit{DC}$ 是20米，梯坎坡长 $\mathit{BC}$ 是12米，梯坎坡度 $i=1:\sqrt{3}$ ，则大楼 $\mathit{AB}$ 的高度约为 $($ 　　 $)$ （精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

A．

30.6

B．

32.1

C．

37.9

D．

39.4

小明沿着坡度 $\mathit{i}$为 $\mathit{1}\mathit{:}\sqrt{\mathit{3}}$的直路向上走了 $\mathit{50}\mathit{m}$，则小明沿垂直方向升高了　   　 $\mathit{m}$．

如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当 太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC="3" 米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是       ．

如图，雨后初晴，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影，于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角 $\angle 1$、测量点 $A$到水面平台的垂直高度 $\mathit{AB}$、看到倒影顶端的视线与水面交点 $C$到 $\mathit{AB}$的水半距离 $\mathit{BC}$．再测得梯步斜坡的坡角 $\angle 2$和长度 $\mathit{EF}$，根据以下数据进行计算，

如图， $\mathit{AB}=2$米， $\mathit{BC}=1$米， $\mathit{EF}=4\sqrt{6}$米， $\angle 1=60°$， $\angle 2=45°$．已知线段 $\mathit{ON}$和线段 $\mathit{OD}$关于直线 $\mathit{OB}$对称．（以下结果保留根号）

（1）求梯步的高度 $\mathit{MO}$；

（2）求树高 $\mathit{MN}$．

如图， $\mathit{BC}$是路边坡角为 $30°$，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆 $\mathit{CD}$的顶端 $D$处有一探射灯，射出的边缘光线 $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$与水平路面 $\mathit{AB}$所成的夹角 $\angle \mathit{DAN}$和 $\angle \mathit{DBN}$分别是 $37°$和 $60°$（图中的点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$、 $M$、 $N$均在同一平面内， $\mathit{CM}//\mathit{AN})$．

（1）求灯杆 $\mathit{CD}$的高度；

（2）求 $\mathit{AB}$的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sqrt{3}=1.73$． $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

资阳市为实现 $5G$网络全覆盖， $2020-2025$年拟建设 $5G$基站七千个．如图，在坡度为 $i=1:2.4$的斜坡 $\mathit{CB}$上有一建成的基站塔 $\mathit{AB}$，小芮在坡脚 $C$测得塔顶 $A$的仰角为 $45°$，然后她沿坡面 $\mathit{CB}$行走13米到达 $D$处，在 $D$处测得塔顶 $A$的仰角为 $53°$．（点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$均在同一平面内）（参考数据： $\sin 53°\approx \frac{4}{5}$， $\cos 53°\approx \frac{3}{5}$， $\tan 53°\approx \frac{4}{3})$

（1）求 $D$处的竖直高度；

（2）求基站塔 $\mathit{AB}$的高．

如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地． $\mathit{BC}//\mathit{AD}$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$，斜坡 $\mathit{AB}$长 $26m$，斜坡 $\mathit{AB}$的坡比为 $12:5$．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过 $50°$时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚 $A$不动，则坡顶 $B$沿 $\mathit{BC}$至少向右移　　 $m$时，才能确保山体不滑坡．（取 $\tan 50°\approx 1.2)$

如图，某商店营业大厅自动扶梯 $\mathit{AB}$的倾斜角为 $31°$， $\mathit{AB}$的长为12米，则大厅两层之间的高度为　米．（结果保留两个有效数字）【参考数据； sin 31 ° = 0 . 515 ， cos 31 ° = 0 . 857 ， tan 31 ° = 0 . 601 】

如图，小刚从山脚 $A$出发，沿坡角为 $\alpha$的山坡向上走了300米到达 $B$点，则小刚上升了 $($　　 $)$

A． $300\sin \alpha$米B． $300\cos \alpha$米C． $300\tan \alpha$米D． $\frac{300}{\tan \alpha }$米

如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站 $\mathit{MA}$ 和 $\mathit{ND}$ ．甲在山脚点 $C$ 处测得通信基站顶端 $M$ 的仰角为 $60°$ ，测得点 $C$ 距离通信基站 $\mathit{MA}$ 的水平距离 $\mathit{CB}$ 为 $30m$ ；乙在另一座山脚点 $F$ 处测得点 $F$ 距离通信基站 $\mathit{ND}$ 的水平距离 $\mathit{FE}$ 为 $50m$ ，测得山坡 $\mathit{DF}$ 的坡度 $i=1:1.25$ ．若 $\mathit{ND}=\frac{5}{8}\mathit{DE}$ ，点 $C$ ， $B$ ， $E$ ， $F$ 在同一水平线上，则两个通信基站顶端 $M$ 与顶端 $N$ 的高度差为（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73\left)\right($ 　　 $)$

A．

$9.0m$

B．

$12.8m$

C．

$13.1m$

D．

$22.7m$