初中数学解直角三角形的应用-方向角问题试题

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30°$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15°$ 方向 $(30+30\sqrt{3})\mathit{km}$ 处．学生分成两组，第一组前往 $A$ 地，第二组前往 $C$ 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 $40\mathit{km}/h$ ，第二组乘公交车，速度是 $30\mathit{km}/h$ ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．

如图，在一笔直的海岸线上有 $A$ ， $B$ 两个观测站， $A$ 在 $B$ 的正西方向， $\mathit{AB}=2\mathit{km}$ ，从观测站 $A$ 测得船 $C$ 在北偏东 $45°$ 的方向，从观测站 $B$ 测得船 $C$ 在北偏西 $30°$ 的方向．求船 $C$ 离观测站 $A$ 的距离．

如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．

共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图 $A$ ， $B$ 两地向 $C$ 地新建 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ 两条笔直的污水收集管道，现测得 $C$ 地在 $A$ 地北偏东 $45°$ 方向上，在 $B$ 地北偏西 $68°$ 向上， $\mathit{AB}$ 的距离为 $7\mathit{km}$ ，求新建管道的总长度．（结果精确到 $0.1\mathit{km}$ ， $\sin 22°\approx 0.37$ ， $\cos 22°\approx 0.93$ ， $\tan 22°\approx 0.40$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41)$

一艘渔船从位于 $A$ 海岛北偏东 $60°$ 方向，距 $A$ 海岛60海里的 $B$ 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在 $A$ 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$ ， $\sqrt{5}\approx 2.24$ ， $\sqrt{7}\approx 2.65)$

（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．

（2）渔船航行3小时后到达 $C$ 处，求 $A$ ， $C$ 之间的距离．

如图，海上有一灯塔，位于小岛北偏东方向上，一艘轮船从小岛出发，由西向东航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔的正南方，此时轮船与灯塔的距离是　　．（结果保留一位小数，

如图，海中有个小岛，一艘轮船由西向东航行，在点处测得小岛位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点处，测得小岛在它的北偏西方向，此时轮船与小岛的距离为　　海里．

如图，海岛 $B$ 在海岛 $A$ 的北偏东30方向，且与海岛 $A$ 相距20海里，一艘渔船从海岛 $B$ 出发，以5海里 $/$ 时的速度沿北偏东 $75°$ 方向航行，同时一艘快艇从海岛 $A$ 出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达 $C$ 处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的 $E$ 处．

（1）求 $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）求快艇的速度及 $C$ ， $E$ 之间的距离．

（参考数据： $\sin 15°\approx 0.26$ ， $\cos 15°\approx 0.97$ ， $\tan 15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于其西北方向（北偏西 $45°$ 方向），2小时后轮船到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得小岛 $P$ 位于其北偏东 $60°$ 方向．求此时船与小岛 $P$ 的距离（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$ ， $\sqrt{3}\approx 1.732)$ ．

如图，一艘船由西向东航行，在处测得北偏东方向上有一座灯塔，再向东继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的周围内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？

如图，热气球位于观测塔的北偏西方向，距离观测塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔的南偏西方向的处，这时，处距离观测塔有多远？（结果保留整数，参考数据：，，，，，．

如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．

（1）渔船航行多远距离小岛最近（结果保留根号）？

（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？

为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行30分钟后到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上．

（1）求的度数；

（2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据：，

如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的 $P$ 、 $Q$ 两点分别测定对岸一棵树 $T$ 的位置， $T$ 在 $P$ 的正北方向，且 $T$ 在 $Q$ 的北偏西 $70°$ 方向，则河宽 $(\mathit{PT}$ 的长）可以表示为 $($ 　　 $)$

A．

$200\tan 70°$ 米

B．

$\frac{200}{\tan 70°}$ 米

C．

$200\sin$ $70°$ 米

D．

$\frac{200}{\sin 70°}$ 米

在一次海上救援中，两艘专业救助船，同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．

（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；

（2）若救助船，分别以40海里小时、30海里小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．