初中数学试题

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，平行四边形 $\mathit{ABCD}$ 的 $\mathit{AB}$ 边与 $y$ 轴交于 $E$ 点， $F$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点， $B$ 、 $C$ 、 $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(8,0)$ ， $(13,10)$ ．

（1）求过 $B$ 、 $E$ 、 $C$ 三点的抛物线的解析式；

（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 $\mathit{EF}$ 上；

（3）设过 $F$ 与 $\mathit{AB}$ 平行的直线交 $y$ 轴于 $Q$ ， $M$ 是线段 $\mathit{EQ}$ 之间的动点，射线 $\mathit{BM}$ 与抛物线交于另一点 $P$ ，当 $\mathit{\Delta PBQ}$ 的面积最大时，求 $P$ 的坐标．

如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有 $1\times 1$ 个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有 $2\times 2$ 个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有 $3\times 3$ 个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第 $n$ 个网格中所有线段的和为 　　 $.$ （用含 $n$ 的代数式表示）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是边 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{BE}=\mathit{BC}$， $\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $F$．将四边形 $\mathit{CBEF}$绕点 $C$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，得到四边形 $C{B}^{\text{'}}{E}^{\text{'}}F\text{'}$， $B\text{'}E\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $G$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $P$，交 $\mathit{CD}$于点 $K$． $E\text{'}F\text{'}$所在的直线分别交直线 $\mathit{BC}$于点 $H$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $Q$，连接 $B\text{'}F\text{'}$交 $\mathit{CD}$于点 $O$．

（1）如图1，求证：四边形 $\mathit{BEFC}$是正方形；

（2）如图2，当点 $Q$和点 $D$重合时．

①求证： $\mathit{GC}=\mathit{DC}$；

②若 $\mathit{OK}=1$， $\mathit{CO}=2$，求线段 $\mathit{GP}$的长；

（3）如图3，若 $\mathit{BM}//F\text{'}B\text{'}$交 $\mathit{GP}$于点 $M$， $\tan \angle G=\frac{1}{2}$，求 $\frac{S_{\mathit{\Delta GMB}}}{S_{△\mathit{CF}\text{'}H}}$的值．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，点 $F$在 $\mathit{CB}$的延长线上， $\angle \mathit{EAF}=45°$， $\mathit{AE}$交 $\mathit{BD}$于点 $G$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{1}{2}$， $\mathit{BF}=2$，则 $\mathit{FG}=$　　．

问题提出

如图（1），在 $\mathit{\Delta A}\mathit{BC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{AC}$， $\mathit{EC}=\mathit{DC}$，点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$于点 $F$．线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点 $D$， $F$重合时，直接写出一个等式，表示 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 $D$， $F$不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在 $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta DEC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DCE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{kAC}$， $\mathit{EC}=\mathit{kDC}(k$是常数），点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内部，直线 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$．直接写出一个等式，表示线段 $\mathit{AF}$， $\mathit{BF}$， $\mathit{CF}$之间的数量关系．

等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法．它是利用“同一个图形的面积相等”、“分割图形后各部分的面积之和等于原图形的面积”、“同底等高或等底同高的两个三角形面积相等”等性质解决有关数学问题，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，可以使解题思路清晰，解题过程简便快捷．

（1）在直角三角形中，两直角边长分别为3和4，则该直角三角形斜边上的高的长为 　　，其内切圆的半径长为 　　；

（2）①如图1， $P$是边长为 $a$的正 $\mathit{\Delta ABC}$内任意一点，点 $O$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中心，设点 $P$到 $\mathit{\Delta ABC}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$， $\mathit{CP}$，由等面积法，易知 $\frac{1}{2}a(h_1+h_2+h_3)=S_{\mathit{\Delta ABC}}=3S_{\mathit{\Delta OAB}}$，可得 $h_1+h_2+h_3=$　　；（结果用含 $a$的式子表示）

②如图2， $P$是边长为 $a$的正五边形 $\mathit{ABCDE}$内任意一点，设点 $P$到五边形 $\mathit{ABCDE}$各边距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$， $h_4$， $h_5$，参照①的探索过程，试用含 $a$的式子表示 $h_1+h_2+h_3+h_4+h_5$的值．（参考数据： $\tan 36°\approx \frac{8}{11}$， $\tan 54°\approx \frac{11}{8})$

（3）①如图3，已知 $\odot O$的半径为2，点 $A$为 $\odot O$外一点， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{AB}$切 $\odot O$于点 $B$，弦 $\mathit{BC}//\mathit{OA}$，连接 $\mathit{AC}$，则图中阴影部分的面积为 　　；（结果保留 $\pi )$

②如图4，现有六边形花坛 $\mathit{ABCDEF}$，由于修路等原因需将花坛进行改造，若要将花坛形状改造成五边形 $\mathit{ABCDG}$，其中点 $G$在 $\mathit{AF}$的延长线上，且要保证改造前后花坛的面积不变，试确定点 $G$的位置，并说明理由.

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $O$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{AOC}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$， $\mathit{OD}=\mathit{OA}$， $\mathit{BD}$分别与 $\mathit{AC}$， $\mathit{OC}$交于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$，则 $\frac{\mathit{OG}}{\mathit{BC}}$的值为 　　；若 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{OF}}$的值为 　　．

2021年5月7日，《科学》杂志发布了我国成功研制出可编程超导量子计算机“祖冲之”号的相关研究成果．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家，他是第一个将圆周率 $\pi$精确到小数点后第七位的人，他给出 $\pi$的两个分数形式： $\frac{22}{7}$（约率）和 $\frac{355}{113}$（密率）．同时期数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数 $x$的不足近似值和过剩近似值分别为 $\frac{b}{a}$和 $\frac{d}{c}$（即有 $\frac{b}{a}<x<\frac{d}{c}$，其中 $a$， $b$， $c$， $d$为正整数），则 $\frac{b+d}{a+c}$是 $x$的更为精确的近似值．例如：已知 $\frac{157}{50}<\pi <\frac{22}{7}$，则利用一次“调日法”后可得到 $\pi$的一个更为精确的近似分数为： $\frac{157+22}{50+7}=\frac{179}{57}$；由于 $\frac{179}{57}\approx 3.1404<\pi$，再由 $\frac{179}{57}<\pi <\frac{22}{7}$，可以再次使用“调日法”得到 $\pi$的更为精确的近似分数 $\dots$现已知 $\frac{7}{5}<\sqrt{2}<\frac{3}{2}$，则使用两次“调日法”可得到 $\sqrt{2}$的近似分数为 　　．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的对称轴在 $y$ 轴右侧，抛物线与 $x$ 轴交于点 $A(-2,0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴的负半轴交于点 $C$ ，且 $\mathit{OB}=2\mathit{OC}$ ，则下列结论：① $\frac{a-b}{c}>0$ ；② $2b-4\mathit{ac}=1$ ；③ $a=\frac{1}{4}$ ；④当 $-1<b<0$ 时，在 $x$ 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 $M$ ， $N$ （点 $M$ 在点 $N$ 左边），使得 $\mathit{AN}\perp \mathit{BM}$ ，其中正确的有 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/\mathit{kg}$，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$（元 $/\mathit{kg})$与时间 $x$（天 $)$之间的函数关系式为： $y=\left\{\begin{array}{c}0.25x+30\left(1⩽x⩽20且x\mathit{为整数}\right)\\ 35(20<x⩽40且x\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$与时间 $x$（天 $)$之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$（天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$与 $x$的函数关系为 　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1\mathit{kg}$商品就捐赠 $n$元利润 $(n<4)$给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$的增大而增大，求 $n$的取值范围．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=8$， $\mathit{BC}=6$，点 $P$是平面内一个动点，且 $\mathit{AP}=3$， $Q$为 $\mathit{BP}$的中点，在 $P$点运动过程中，设线段 $\mathit{CQ}$的长度为 $m$，则 $m$的取值范围是 　　．

某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量 $y$（件 $)$是关于售价 $x$（元 $/$件）的一次函数，如表仅列出了该商品的售价 $x$，周销售量 $y$，周销售利润 $W$（元 $)$的三组对应值数据．

$x$	40	70	90
$y$	180	90	30
$W$	3600	4500	2100

（1）求 $y$关于 $x$的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；

（2）若该商品进价 $a$（元 $/$件），售价 $x$为多少时，周销售利润 $W$最大？并求出此时的最大利润；

（3）因疫情期间，该商品进价提高了 $m$（元 $/$件） $(m>0)$，公司为回馈消费者，规定该商品售价 $x$不得超过55（元 $/$件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求 $m$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．