2015年全国统一高考理科数学试卷（全国Ⅰ卷）

设复数 $z$ 满足 $\frac{1+i}{1-z}=i$ ，则 $\left|z\right|$ =（ ）

$\sin 20°\cos 10°-\cos 160°\sin 10°=$（）

A．

B．

C．

D．

设命题 $p:\exists n\in N,n^2>2^n$，则 $\neg p$为（  ）

投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（  ）

已知 $M(x_0,y_0)$是双曲线 $C:\frac{x^2}{2}-y^2=1$上的一点， $F_1,F_2$是 $C$上的两个焦点，若 $\stackrel{\to }{M{F}_1}·\stackrel{\to }{M{F}_2}<0$，则 $y_0$的取值范围是（  ）

《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:"今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?"其意思为:"在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?"已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（  ）

设 $D$为 $△ABC$所在平面内一点 $\stackrel{\rightharpoonup }{BC}=3\stackrel{\rightharpoonup }{CD}$，则（  ）

函数 $f\left(x\right)=\cos (\omega x+\phi )$的部分图像如图所示，则 $f\left(x\right)$的单调递减区间为（）

执行下面的程序框图，如果输入的 $t=0.01$，则输出的 $n$ $=$（）

$(x^2+x+y{)}^5$的展开式中， $x^5{y}^2$的系数为（  ）

圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 $r$）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 $16+20\pi$，则 $r=$（  ）

设函数 $f\left(x\right)=e^x(2x-1)-ax+a$,其中 $a<1$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f\left(x_0\right)<0$，则 $a$的取值范围是（）

若函数 $f\left(x\right)=x\ln (x+\sqrt{a+x^2})$为偶函数，则 $a=$

一个圆经过椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.

若 $x,y$满足约束条件 $\{\begin{array}{c}x-1\ge 0\\ x-y\le 0\\ x+y-4\le 0\end{array}$，则 $\frac{y}{x}$的最大值为.

在平面四边形 $ABCD$中， $\angle A=\angle B=\angle C=75°$， $BC=2$，则 $AB$的取值范围是.

$S_n$为数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和.已知 $a_n>0$， ${a_n}^2+2a_n=4S_n+3$.
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_n=\frac{1}{a_n{a}_{n-1}}$,求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和.

如图，四边形 $ABCD$为菱形， $\angle ABC$=120°， $E,F$是平面 $ABCD$同一侧的两点， $BE$⊥平面 $ABCD$， $DE$⊥平面 $ABCD$， $BE=2DE$， $AE\perp EC$.

（Ⅰ）证明：平面 $AEC$⊥平面 $AFC$；
（Ⅱ）求直线 $AE$与直线 $CF$所成角的余弦值.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位： $t$）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_i$和年销售量 $y_i$（ $i$=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

在直角坐标系 $xOy$中，曲线 $C：y=\frac{x^2}{4}$与直线 $y=kx+a(a>0)$交与 $M,N$两点，
（Ⅰ）当 $k=0$时，分别求 $C$在点 $M$和 $N$处的切线方程；
（Ⅱ） $y$轴上是否存在点 $P$，使得当 $k$变动时，总有 $\angle OPM=\angle OPN$？说明理由.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+\frac{1}{4},g\left(x\right)=-\ln x$.
（Ⅰ）当 $a$为何值时， $x$轴为曲线 $y=f\left(x\right)$的切线；
（Ⅱ）用 $min$ $\left\{m,n\right\}$表示 $m,n$中的最小值，设函数 $h\left(x\right)=min\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\}\left(x>0\right)$，讨论 $h\left(x\right)$）零点的个数.

选修4-1：几何证明选讲

如图， $AB$是 $\odot O$的直径， $AC$是 $\odot O$的切线， $BC$交 $\odot O$于 $E$.

（Ⅰ）若 $D$为 $AC$的中点，证明： $DE$是 $\odot O$的切线；

（Ⅱ）若 $OA=\sqrt{3}CE$，求 $\angle ACB$的大小.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 $xOy$中，直线 $C_1:x=-2$，圆 $C_2:(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$,以坐标原点为极点， $x$轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求 $C_1$， $C_2$的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 $C_3$的极坐标方程为 $\theta =\frac{\pi }{4}(p\in R)$，设 $C_2$与 $C_3$的交点为 $M$, $N$&#xa0;,求 $△C_{2}MN$的面积.

已知函数 $f\left(x\right)=\left|x+1\right|-2\left|x-a\right|,a>0$.

（Ⅰ）当 $a=1$时,求不等式 $f\left(x\right)>1$的解集；
（Ⅱ）若 $f\left(x\right)$的图像与 $x$轴围成的三角形面积大于6,求 $a$的取值范围.