2017年山西省中考数学试卷

计算 $-1+2$ 的结果是 $($ 　　 $)$

如图，直线 $a$ ， $b$ 被直线 $c$ 所截，下列条件不能判定直线 $a$ 与 $b$ 平行的是 $($ 　　 $)$

在体育课上，甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试，经计算他们的平均成绩相同．若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定，通常需要比较他们成绩的 $($ 　　 $)$

将不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x-6⩽0\\ x+4>0\end{array}\right.$ 的解集表示在数轴上，下面表示正确的是 $($ 　　 $)$

下列运算错误的是 $($ 　　 $)$

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 折叠，得到△ $\mathit{BC}\text{'}D$ ， $C\text{'}D$ 与 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ．若 $\angle 1=35°$ ，则 $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

化简 $\frac{4x}{x^2-4}-\frac{x}{x-2}$ 的结果是 $($ 　　 $)$

2017年5月18日，我国宣布在南海神狐海域成功试采可燃冰，成为世界上首个在海域连续稳定产气的国家．据粗略估计，仅南海北部陆坡的可燃冰资源就达到186亿吨油当量，达到我国陆上石油资源总量的 $50\%$ ．数据186亿吨，用科学记数法可表示为 $($ 　　 $)$

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数 $\sqrt{2}$ ，导致了第一次数学危机， $\sqrt{2}$ 是无理数的证明如下：

   假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，那么它可以表示成 $\frac{q}{p}(p$ 与 $q$ 是互质的两个正整数）．于是 ${\left(\frac{q}{p}\right)}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$ ，所以， $q^2=2p^2$ ．于是 $q^2$ 是偶数，进而 $q$ 是偶数，从而可设 $q=2m$ ，所以 ${\left(2m\right)}^2=2p^2$ ， $p^2=2m^2$ ，于是可得 $p$ 也是偶数．这与" $p$ 与 $q$ 是互质的两个正整数"矛盾．从而可知" $\sqrt{2}$ 是有理数"的假设不成立，所以， $\sqrt{2}$ 是无理数．

这种证明" $\sqrt{2}$ 是无理数"的方法是 $($ 　　 $)$

如图是某商品的标志图案， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 是 $\odot O$ 的两条直径，首尾顺次连接点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，得到四边形 $\mathit{ABCD}$ ．若 $\mathit{AC}=10\mathit{cm}$ ， $\angle \mathit{BAC}=36°$ ，则图中阴影部分的面积为 $($ 　　 $)$

计算：$4\sqrt{18}-9\sqrt{2}=$　　．

某商店经销一种品牌的洗衣机，其中某一型号的洗衣机每台进价为$a$元，商店将进价提高$20\%$后作为零售价进行销售，一段时间后，商店又以9折优惠价促销，这时该型号洗衣机的零售价为　　元．

如图，已知$\mathit{\Delta ABC}$三个顶点的坐标分别为$A(0,4)$，$B(-1,1)$，$C(-2,2)$，将$\mathit{\Delta ABC}$向右平移4个单位，得到△$A\text{'}B\text{'}C\text{'}$，点$A$，$B$，$C$的对应点分别为$A\text{'}$、$B\text{'}$、$C\text{'}$，再将△$A\text{'}B\text{'}C\text{'}$绕点$B\text{'}$顺时针旋转$90°$，得到△$A\text{'}\text{'}B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}$，点$A\text{'}$、$B\text{'}$、$C\text{'}$的对应点分别为$A\text{'}\text{'}$、$B\text{'}\text{'}$、$C\text{'}\text{'}$，则点$A\text{'}\text{'}$的坐标为　　．

如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度$\mathit{AB}$，其中一名小组成员站在距离树10米的点$E$处，测得树顶$A$的仰角为$54°$．已知测角仪的架高$\mathit{CE}=1.5$米，则这棵树的高度为　　米．（结果保留一位小数．参考数据：$\sin 54°=0.8090$，$\cos 54°=0.5878$，$\tan 54°=1.3764)$

一副三角板按如图方式摆放，得到$\mathit{\Delta ABD}$和$\mathit{\Delta BCD}$，其中$\angle \mathit{ADB}=\angle \mathit{BCD}=90°$，$\angle A=60°$，$\angle \mathit{CBD}=45°$，$E$为$\mathit{AB}$的中点，过点$E$作$\mathit{EF}\perp \mathit{CD}$于点$F$．若$\mathit{AD}=4\mathit{cm}$，则$\mathit{EF}$的长为　　$\mathit{cm}$．

（1）计算： ${(-2)}^3+{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}-\sqrt{8}·\sin 45°$

（2）分解因式： ${(y+2x)}^2-{(x+2y)}^2$ ．

已知：如图，在$▱\mathit{ABCD}$中，延长$\mathit{AB}$至点$E$，延长$\mathit{CD}$至点$F$，使得$\mathit{BE}=\mathit{DF}$．连接$\mathit{EF}$，与对角线$\mathit{AC}$交于点$O$．

求证：$\mathit{OE}=\mathit{OF}$．

如图，在平面直角坐标系中，正方形$\mathit{OABC}$的顶点$O$与坐标原点重合，其边长为2，点$A$，点$C$分别在$x$轴，$y$轴的正半轴上，函数$y=2x$的图象与$\mathit{CB}$交于点$D$，函数$y=\frac{k}{x}(k$为常数，$k\ne 0)$的图象经过点$D$，与$\mathit{AB}$交于点$E$，与函数$y=2x$的图象在第三象限内交于点$F$，连接$\mathit{AF}$、$\mathit{EF}$．

（1）求函数$y=\frac{k}{x}$的表达式，并直接写出$E$、$F$两点的坐标；

（2）求$\mathit{\Delta AEF}$的面积．

从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长$103\%$；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．

如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：

（1）请根据统计图解答下列问题：

①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是　2038　亿元．

②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到$1\%)$，并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．

（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为$A$，$B$，$C$，$D$的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号$A$，$B$，$C$，$D$表示）

如图，$\mathit{\Delta ABC}$内接于$\odot O$，且$\mathit{AB}$为$\odot O$的直径，$\mathit{OD}\perp \mathit{AB}$，与$\mathit{AC}$交于点$E$，与过点$C$的$\odot O$的切线交于点$D$．

（1）若$\mathit{AC}=4$，$\mathit{BC}=2$，求$\mathit{OE}$的长．

（2）试判断$\angle A$与$\angle \mathit{CDE}$的数量关系，并说明理由．

综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为$3:4:5$的三角形称为$(3$，4，$5)$型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或$3\sqrt{2}$，$4\sqrt{2}$，$5\sqrt{2}$的三角形就是$(3$，4，$5)$型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=8\mathit{cm}$，$\mathit{AB}=12\mathit{cm}$．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片$\mathit{ABCD}$沿过点$A$的直线折叠，使点$D$落在$\mathit{AB}$上的点$E$处，折痕为$\mathit{AF}$，再沿$\mathit{EF}$折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点$D$与点$F$重合，折痕为$\mathit{GH}$，然后展平，隐去$\mathit{AF}$．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿$\mathit{AH}$折叠，得到△$\mathit{AD}\text{'}H$，再沿$\mathit{AD}\text{'}$折叠，折痕为$\mathit{AM}$，$\mathit{AM}$与折痕$\mathit{EF}$交于点$N$，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形$\mathit{AEFD}$是正方形．

（2）请在图4中判断$\mathit{NF}$与$\mathit{ND}\text{'}$的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明$\mathit{\Delta AEN}(3$，4，$5)$型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是$(3$，4，$5)$型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

如图，抛物线$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，连接$\mathit{AC}$、$\mathit{BC}$．点$P$沿$\mathit{AC}$以每秒1个单位长度的速度由点$A$向点$C$运动，同时，点$Q$沿$\mathit{BO}$以每秒2个单位长度的速度由点$B$向点$O$运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接$\mathit{PQ}$．过点$Q$作$\mathit{QD}\perp x$轴，与抛物线交于点$D$，与$\mathit{BC}$交于点$E$，连接$\mathit{PD}$，与$\mathit{BC}$交于点$F$．设点$P$的运动时间为$t$秒$(t>0)$．

（1）求直线$\mathit{BC}$的函数表达式；

（2）①直接写出$P$，$D$两点的坐标（用含$t$的代数式表示，结果需化简）

②在点$P$、$Q$运动的过程中，当$\mathit{PQ}=\mathit{PD}$时，求$t$的值；

（3）试探究在点$P$，$Q$运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点$F$为$\mathit{PD}$的中点？若存在，请直接写出此时$t$的值与点$F$的坐标；若不存在，请说明理由．