2017年湖南省岳阳市中考数学试卷

6的相反数是 $($　　 $)$

A． $-6$B． $\frac{1}{6}$C．6D． $\pm 6$

下列运算正确的是 $($　　 $)$

A． ${\left(x^3\right)}^2=x^5$B． ${(-x)}^5=-x^5$

C． $x^3·x^2=x^6$D． $3x^2+2x^3=5x^5$

据国土资源部数据显示，我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一，海、陆总储量约为39000000000吨油当量，将39000000000用科学记数法表示为 $($　　 $)$

A． $3.9\times {10}^{10}$B． $3.9\times {10}^9$C． $0.39\times {10}^{11}$D． $39\times {10}^9$

下列四个立体图形中，主视图、左视图、俯视图都相同的是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

从 $\sqrt{2}$，0， $\pi$，3.14，6这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{5}$B． $\frac{2}{5}$C． $\frac{3}{5}$D． $\frac{4}{5}$

解分式方程 $\frac{2}{x-1}-\frac{2x}{x-1}=1$，可知方程的解为 $($　　 $)$

A． $x=1$B． $x=3$C． $x=\frac{1}{2}$D．无解

观察下列等式： $2^1=2$， $2^2=4$， $2^3=8$， $2^4=16$， $2^5=32$， $2^6=64$， $\dots$，根据这个规律，则 $2^1+2^2+2^3+2^4+\dots +2^{2017}$的末位数字是 $($　　 $)$

A．0B．2C．4D．6

已知点 $A$在函数 $y_1=-\frac{1}{x}(x>0)$的图象上，点 $B$在直线 $y_2=\mathit{kx}+1+k(k$为常数，且 $k⩾0)$上．若 $A$， $B$两点关于原点对称，则称点 $A$， $B$为函数 $y_1$， $y_2$图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为 $($　　 $)$

A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对

函数 $y=\frac{1}{x-7}$中自变量 $x$的取值范围是　　．

因式分解： $x^2-6x+9=$　　．

在环保整治行动中，某市环保局对辖区内的单位进行了抽样调查，他们的综合得分如下：95，85，83，95，92，90，96，则这组数据的中位数是　　，众数是　　．

如图，点 $P$是 $\angle \mathit{NOM}$的边 $\mathit{OM}$上一点， $\mathit{PD}\perp \mathit{ON}$于点 $D$， $\angle \mathit{OPD}=30°$， $\mathit{PQ}//\mathit{ON}$，则 $\angle \mathit{MPQ}$的度数是　　．

不等式组 $\left\{\begin{array}{c}3-x⩾0\\ 3(1-x)>2(x+9)\end{array}\right.$的解集是　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\mathit{BC}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{AC}=b$，且关于 $x$的方程 $x^2-4x+b=0$有两个相等的实数根，则 $\mathit{AC}$边上的中线长为　　．

我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率 $\pi$的近似值，设半径为 $r$的圆内接正 $n$边形的周长为 $L$，圆的直径为 $d$，如图所示，当 $n=6$时， $\pi \approx \frac{L}{d}=\frac{6r}{2r}=3$，那么当 $n=12$时， $\pi \approx \frac{L}{d}=$　　．（结果精确到0.01，参考数据： $\sin 15°=\cos 75°\approx 0.259)$

如图， $\odot O$为等腰 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆，直径 $\mathit{AB}=12$， $P$为弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上任意一点（不与 $B$， $C$重合），直线 $\mathit{CP}$交 $\mathit{AB}$延长线于点 $Q$， $\odot O$在点 $P$处切线 $\mathit{PD}$交 $\mathit{BQ}$于点 $D$，下列结论正确的是　　．（写出所有正确结论的序号）

①若 $\angle \mathit{PAB}=30°$，则弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BP}}$的长为 $\pi$；②若 $\mathit{PD}//\mathit{BC}$，则 $\mathit{AP}$平分 $\angle \mathit{CAB}$；

③若 $\mathit{PB}=\mathit{BD}$，则 $\mathit{PD}=6\sqrt{3}$；④无论点 $P$在弧 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$上的位置如何变化， $\mathit{CP}·\mathit{CQ}$为定值．

计算： $2\sin 60°+|3-\sqrt{3}|+{(\pi -2)}^0-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}$．

求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．

已知：如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $O$，　　．

求证：　　．

如图，直线 $y=x+b$与双曲线 $y=\frac{k}{x}(k$为常数， $k\ne 0)$在第一象限内交于点 $A(1,2)$，且与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$， $C$两点．

（1）求直线和双曲线的解析式；

（2）点 $P$在 $x$轴上，且 $\mathit{\Delta BCP}$的面积等于2，求 $P$点的坐标．

我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的 $\frac{2}{3}$，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？

为了加强学生课外阅读，开阔视野，某校开展了“书香校园，从我做起”的主题活动，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下：

请根据图表信息回答下列问题：

（1）频数分布表中的 $a=$　　， $b=$　　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）学校将每周课外阅读时间在8小时以上的学生评为“阅读之星”，请你估计该校2000名学生中评为“阅读之星”的有多少人？

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 $\mathit{AB}$与支架 $\mathit{CD}$所在直线相交于点 $O$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，支架 $\mathit{CD}$与水平线 $\mathit{AE}$垂直， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{CDE}=30°$， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=165\mathit{cm}$．

（1）求支架 $\mathit{CD}$的长；

（2）求真空热水管 $\mathit{AB}$的长．（结果保留根号）

问题背景：已知 $\angle \mathit{EDF}$的顶点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$所在直线上（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$所在直线于点 $M$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$所在直线于点 $N$，记 $\mathit{\Delta ADM}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BND}$的面积为 $S_2$．

（1）初步尝试：如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{EDF}=\angle A$，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$时，则 $S_1·S_2=$　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$沿 $\mathit{AB}$平移，使 $\mathit{AD}=4$，再将 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转至如图②所示位置，求 $S_1·S_2$的值；

（3）延伸拓展：当 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形时，设 $\angle B=\angle A=\angle \mathit{EDF}=\alpha$．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，求 $S_1·S_2$的表达式（结果用 $a$， $b$和 $\alpha$的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，直接写出 $S_1·S_2$的表达式，不必写出解答过程．

如图，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $B(3,0)$， $C(0,-2)$，直线 $l:y=-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}$交 $y$轴于点 $E$，且与抛物线交于 $A$， $D$两点， $P$为抛物线上一动点（不与 $A$， $D$重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$下方时，过点 $P$作 $\mathit{PM}//x$轴交 $l$于点 $M$， $\mathit{PN}//y$轴交 $l$于点 $N$，求 $\mathit{PM}+\mathit{PN}$的最大值．

（3）设 $F$为直线 $l$上的点，以 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点 $F$的坐标；若不能，请说明理由．