2018年湖北省荆州市中考数学试卷

下列代数式中，整式为 $($　　 $)$

A． $x+1$B． $\frac{1}{x+1}$C． $\sqrt{x^2+1}$D． $\frac{x+1}{x}$

如图，两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点 $A$、点 $B$，则下列说法正确的是 $($　　 $)$

A．原点在点 $A$的左边B．原点在线段 $\mathit{AB}$的中点处

C．原点在点 $B$的右边D．原点可以在点 $A$或点 $B$上

下列计算正确的是 $($　　 $)$

A． $3a^2-4a^2=a^2$B． $a^2·a^3=a^6$C． $a^{10}÷a^5=a^2$D． ${\left(a^2\right)}^3=a^6$

如图，两条直线 $l_1//l_2$， $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，顶点 $A$、 $B$分别在 $l_1$和 $l_2$上， $\angle 1=20°$，则 $\angle 2$的度数是 $($　　 $)$

A． $45°$B． $55°$C． $65°$D． $75°$

解分式方程 $\frac{1}{x-2}-3=\frac{4}{2-x}$时，去分母可得 $($　　 $)$

A． $1-3(x-2)=4$B． $1-3(x-2)=-4$C． $-1-3(2-x)=-4$D． $1-3(2-x)=4$

《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛，2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金 $x$两、 $y$两，则可列方程组为 $($　　 $)$

A． $\left\{\begin{array}{c}5x+2y=10\\ 2x+5y=8\end{array}\right.$B． $\left\{\begin{array}{c}5x-2y=10\\ 2x-5y=8\end{array}\right.$

C． $\left\{\begin{array}{c}5x+2y=10\\ 2x-5y=8\end{array}\right.$D． $\left\{\begin{array}{c}5x+2y=8\\ 2x+5y=10\end{array}\right.$

已知：将直线 $y=x-1$向上平移2个单位长度后得到直线 $y=\mathit{kx}+b$，则下列关于直线 $y=\mathit{kx}+b$的说法正确的是 $($　　 $)$

A．经过第一、二、四象限B．与 $x$轴交于 $(1,0)$

C．与 $y$轴交于 $(0,1)$D． $y$随 $x$的增大而减小

如图，将一块菱形 $\mathit{ABCD}$硬纸片固定后进行投针训练．已知纸片上 $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$于 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于 $F$， $\sin D=\frac{4}{5}$．若随意投出一针命中了菱形纸片，则命中矩形区域的概率是 $($　　 $)$

A． $\frac{1}{5}$B． $\frac{2}{5}$C． $\frac{3}{5}$D． $\frac{4}{5}$

荆州古城是闻名遐迩的历史文化名城，“五一”期间相关部门对到荆州观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整）．根据图中信息，下列结论错误的是 $($　　 $)$

A．本次抽样调查的样本容量是5000

B．扇形图中的 $m$为 $10\%$

C．样本中选择公共交通出行的有2500人

D．若“五一”期间到荆州观光的游客有50万人，则选择自驾方式出行的有25万人

如图，平面直角坐标系中， $\odot P$经过三点 $A(8,0)$， $O(0,0)$， $B(0,6)$，点 $D$是 $\odot P$上的一动点．当点 $D$到弦 $\mathit{OB}$的距离最大时， $\tan \angle \mathit{BOD}$的值是 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D．5

计算： $|-2|-\sqrt{4}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}+\tan 45°=$　      　．

已知： $\angle \mathit{AOB}$，求作： $\angle \mathit{AOB}$的平分线．作法：①以点 $O$为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$于点 $M$， $N$；②分别以点 $M$， $N$为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{MN}$的长为半径画弧，两弧在 $\angle \mathit{AOB}$内部交于点 $C$；③画射线 $\mathit{OC}$．射线 $\mathit{OC}$即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　          　．

如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 $k$的值为125，则第2018次输出的结果是　      　．

荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面 $A$处测得塔顶的仰角为 $30°$，再向古塔方向行进 $a$米后到达 $B$处，在 $B$处测得塔顶的仰角为 $45°$（如图所示），那么 $a$的值约为　    　米 $(\sqrt{3}\approx 1.73$，结果精确到 $0.1)$．

为了比较 $\sqrt{5}+1$与 $\sqrt{10}$的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中 $\angle C=90°$， $\mathit{BC}=3$， $D$在 $\mathit{BC}$上且 $\mathit{BD}=\mathit{AC}=1$．通过计算可得 $\sqrt{5}+1$　   　 $\sqrt{10}$．（填“ $>$”或“ $<$”或“ $=$” $)$

关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2\mathit{kx}+k^2-k=0$的两个实数根分别是 $x_1$、 $x_2$，且 $x_1^2+x_2^2=4$，则 $x_1^2-x_1{x}_2+x_2^2$的值是　        　．

如图，将钢球放置到一个倒立的空心透明圆锥中，测得相关数据如图所示（图中数据单位： $\mathit{cm})$，则钢球的半径为　     　 $\mathit{cm}$（圆锥的壁厚忽略不计）．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对称中心在坐标原点， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AD}$、 $\mathit{BC}$分别与 $x$轴交于 $E$、 $F$，连接 $\mathit{BE}$、 $\mathit{DF}$，若正方形 $\mathit{ABCD}$有两个顶点在双曲线 $y=\frac{a+2}{x}$上，实数 $a$满足 $a^{3-a}=1$，则四边形 $\mathit{DEBF}$的面积是　          　．

（1）求不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2x-1⩾x-2①\\ x+\frac{1}{2}>2\left(x-\frac{1}{4}\right)②\end{array}\right.$的整数解；

（2）先化简，后求值 $(1-\frac{a}{a+1})÷\frac{a^2-1}{a^2+2a+1}$，其中 $a=\sqrt{2}+1$．

为了参加“荆州市中小学生首届诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前5名学生的成绩（百分制）分别为：八（1）班86，85，77，92，85；八（2）班79，85，92，85，89．通过数据分析，列表如下：

（1）直接写出表中 $a$， $b$， $c$的值；

（2）根据以上数据分析，你认为哪个班前5名同学的成绩较好？说明理由．

如图，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}$，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{MN}$，将纸片展平；再一次折叠，使点 $D$落到 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕 $\mathit{AP}$交 $\mathit{MN}$于 $E$；延长 $\mathit{PF}$交 $\mathit{AB}$于 $G$．求证：

（1） $\mathit{\Delta AFG}\cong \mathit{\Delta AFP}$；

（2） $\mathit{\Delta APG}$为等边三角形．

探究函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$与 $y=x+\frac{a}{x}(x>0,a>0)$的相关性质．

（1）小聪同学对函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$进行了如下列表、描点，请你帮他完成连线的步骤；观察图象可得它的最小值为　     　，它的另一条性质为　            　；

（2）请用配方法求函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$的最小值；

（3）猜想函数 $y=x+\frac{a}{x}(x>0,a>0)$的最小值为　     　．

问题：已知 $\alpha$、 $\beta$均为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$， $\tan \beta =\frac{1}{3}$，求 $\alpha +\beta$的度数．

探究：（1）用6个小正方形构造如图所示的网格图（每个小正方形的边长均为 $1)$，请借助这个网格图求出 $\alpha +\beta$的度数；

延伸：（2）设经过图中 $M$、 $P$、 $H$三点的圆弧与 $\mathit{AH}$交于 $R$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{MR}}$的弧长．

为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 $18m$，另外三边由 $36m$长的栅栏围成．设矩形 $\mathit{ABCD}$空地中，垂直于墙的边 $\mathit{AB}=\mathit{xm}$，面积为 $y{m}^2$（如图）．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）若矩形空地的面积为 $160m^2$，求 $x$的值；

（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．

阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点 $P$、 $Q$的坐标分别是 $P(x_1$， $y_1)$、

$Q(x_2$， $y_2)$，则 $P$、 $Q$这两点间的距离为 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(x_1-x_2)}^2+{(y_1-y_2)}^2}$．如 $P(1,2)$， $Q(3,4)$，则 $\left|\mathit{PQ}\right|=\sqrt{{(1-3)}^2+{(2-4)}^2}=2\sqrt{2}$．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交 $y$轴于点 $A$，点 $A$关于 $x$轴的对称点为点 $B$，过点 $B$作直线 $l$平行于 $x$轴．

（1）到点 $A$的距离等于线段 $\mathit{AB}$长度的点的轨迹是　                             　；

（2）若动点 $C(x,y)$满足到直线 $l$的距离等于线段 $\mathit{CA}$的长度，求动点 $C$轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点 $C$的轨迹与直线 $y=\mathit{kx}+\frac{1}{2}$交于 $E$、 $F$两点，分别过 $E$、 $F$作直线 $l$的垂线，垂足分别是 $M$、 $N$，求证：

① $\mathit{EF}$是 $\mathit{\Delta AMN}$外接圆的切线；

② $\frac{1}{\mathit{AE}}+\frac{1}{\mathit{AF}}$为定值．