2022年中考数学专题：一次函数

函数 $y=\mathit{kx}+b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+\mathit{bx}+k-1=0$ 的根的情况是 $($ 　　 $)$

数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线 $y=2x-1$ 与直线 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 相交于点 $P(2,3)$ ．根据图象可知，关于 $x$ 的不等式 $2x-1>\mathit{kx}+b$ 的解集是 $($ 　　 $)$

下列函数图象中，表示直线 $y=2x+1$ 的是 $($ 　　 $)$

若二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=\mathit{ax}+b$ 与反比例函数 $y=-\frac{c}{x}$ 在同一个坐标系内的大致图象为 $($ 　　 $)$

某物体在力 $F$ 的作用下，沿力的方向移动的距离为 $s$ ，力对物体所做的功 $W$ 与 $s$ 的对应关系如图所示，则下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

如图，已知直线 $l_1:y=-2x+4$ 与坐标轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，那么过原点 $O$ 且将 $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积平分的直线 $l_2$ 的解析式为 $($ 　　 $)$

已知一次函数 $y=\mathit{kx}-k$ 过点 $(-1,4)$ ，则下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面 $20m$ 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升 $10s$ ．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 $y$ （单位： $m)$ 与无人机上升的时间 $x$ （单位： $s)$ 之间的关系如图所示．下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

如图，一次函数 $y=x+\sqrt{2}$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，把直线 $\mathit{AB}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30°$ 交 $x$ 轴于点 $C$ ，则线段 $\mathit{AC}$ 长为 $($ 　　 $)$

定义：一次函数 $y=\mathit{ax}+b$ 的特征数为 $[a$ ， $b]$ ，若一次函数 $y=-2x+m$ 的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数 $y=-\frac{3}{x}$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ ， $B$ 关于原点对称，则一次函数 $y=-2x+m$ 的特征数是 $($ 　　 $)$

将直线 $y=-6x$向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为 　　．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 与 $\odot O$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且点 $A$ 在 $x$ 轴上，则弦 $\mathit{AB}$ 的长为 　　．

某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本5元 $/$ 千克，现以8元卖出，挣得 　　元．

已知函数 $y=\mathit{kx}$经过二、四象限，且函数不经过 $(-1,1)$，请写出一个符合条件的函数解析式 　　．

在正比例函数 $y=\mathit{kx}$中， $y$的值随着 $x$值的增大而增大，则点 $P(3,k)$在第 　　象限．

如图， $A$ ， $B$ 两点的坐标分别为 $A(4,3)$ ， $B(0,-3)$ ，在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使线段 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$ 的值最小，则点 $P$ 的坐标是 　　．

如图，一次函数 $y=x+4$与坐标轴分别交于 $A$， $B$两点，点 $P$， $C$分别是线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{OB}$上的点，且 $\angle \mathit{OPC}=45°$， $\mathit{PC}=\mathit{PO}$，则点 $P$的标为 　　．

当自变量 $-1⩽x⩽3$时，函数 $y=|x-k|(k$为常数）的最小值为 $k+3$，则满足条件的 $k$的值为　　．

将直线 $y=-x+1$向左平移 $m(m>0)$个单位后，经过点 $(1,-3)$，则 $m$的值为 　　．

为庆祝"中国共产党的百年华诞"，某校请广告公司为其制作"童心向党"文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中制作宣传册的数量是展板数量的5倍，广告公司制作每件产品所需时间和利润如表：

（1）若制作三种产品共计需要25小时，所获利润为450元，求制作展板、宣传册和横幅的数量；

（2）若广告公司所获利润为700元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值．

如图，一次函数 $y=x+2$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象相交，其中一个交点的横坐标是1．

（1）求 $k$的值；

（2）若将一次函数 $y=x+2$的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}$的图象相交于 $A$， $B$两点，求此时线段 $\mathit{AB}$的长．

黔东南州某销售公司准备购进 $A$、 $B$两种商品，已知购进3件 $A$商品和2件 $B$商品，需要1100元；购进5件 $A$商品和3件 $B$商品，需要1750元．

（1）求 $A$、 $B$两种商品的进货单价分别是多少元？

（2）若该公司购进 $A$商品200件， $B$商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售．已知每件 $A$商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元；每件 $B$商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元．若运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件．

①设运往甲地的 $A$商品为 $x$（件 $)$，投资总运费为 $y$（元 $)$，请写出 $y$与 $x$的函数关系式；

②怎样调运 $A$、 $B$两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？（投资总费用 $=$购进商品的费用 $+$运费）

《九章算术》中记载，浮箭漏（图① $)$出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校 $\mathit{STEAM}$小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：

【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间 $x$．纵轴表示箭尺读数 $y$，描出以表格中数据为坐标的各点．

②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

【结论应用】应用上述发现的规律估算：

①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

②如果本次实验记录的开始时间是上午 $8:00$，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

如图，直线 $y=\mathit{kx}+2$ 与双曲线 $y=\frac{1.5}{x}$ 相交于点 $A$ 、 $B$ ，已知点 $A$ 的横坐标为1．

（1）求直线 $y=\mathit{kx}+2$ 的解析式及点 $B$ 的坐标；

（2）以线段 $\mathit{AB}$ 为斜边在直线 $\mathit{AB}$ 的上方作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．求经过点 $C$ 的双曲线的解析式．

超市购进某种苹果，如果进价增加2元 $/$千克要用300元；如果进价减少2元 $/$千克，同样数量的苹果只用200元．

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元 $/$千克，写出购进苹果的支出 $y$（元 $)$与购进数量 $x$（千克）之间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价 $z$（元 $/$千克）与一天销售数量 $x$（千克）的关系为 $z=-\frac{1}{100}x+12$．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润 $w$（元 $)$最大，求一天购进苹果数量．（利润 $=$销售收入 $-$购进支出）

如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点 $P)$始终以 $3\mathit{km}/\mathit{min}$的速度在离地面 $5\mathit{km}$高的上空匀速向右飞行，2号试飞机（看成点 $Q)$一直保持在1号机 $P$的正下方．2号机从原点 $O$处沿 $45°$仰角爬升，到 $4\mathit{km}$高的 $A$处便立刻转为水平飞行，再过 $1\mathit{min}$到达 $B$处开始沿直线 $\mathit{BC}$降落，要求 $1\mathit{min}$后到达 $C(10,3)$处．

（1）求 $\mathit{OA}$的 $h$关于 $s$的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；

（2）求 $\mathit{BC}$的 $h$关于 $s$的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；

（3）通过计算说明两机距离 $\mathit{PQ}$不超过 $3\mathit{km}$的时长是多少．

$[$注：（1）及（2）中不必写 $s$的取值范围 $]$

学习了图形的旋转之后，小明知道，将点 $P$ 绕着某定点 $A$ 顺时针旋转一定的角度 $\alpha$ ，能得到一个新的点 $P\text{'}$ ，经过进一步探究，小明发现，当上述点 $P$ 在某函数图象上运动时，点 $P\text{'}$ 也随之运动，并且点 $P\text{'}$ 的运动轨迹能形成一个新的图形．

试根据下列各题中所给的定点 $A$ 的坐标、角度 $\alpha$ 的大小来解决相关问题．

【初步感知】

如图1，设 $A(1,1)$ ， $\alpha =90°$ ，点 $P$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b$ 图象上的动点，已知该一次函数的图象经过点 $P_1(-1,1)$ ．

（1）点 $P_1$ 旋转后，得到的点 $P_1\text{'}$ 的坐标为 　 $(1,3)$ 　；

（2）若点 $P\text{'}$ 的运动轨迹经过点 $P_2\text{'}(2,1)$ ，求原一次函数的表达式．

【深入感悟】

如图2，设 $A(0,0)$ ， $\alpha =45°$ ，点 $P$ 是反比例函数 $y=-\frac{1}{x}(x<0)$ 的图象上的动点，过点 $P\text{'}$ 作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 $M$ ，求 $\mathit{\Delta OMP}\text{'}$ 的面积．

【灵活运用】

如图3，设 $A(1,-\sqrt{3})$ ， $\alpha =60°$ ，点 $P$ 是二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2+2\sqrt{3}x+7$ 图象上的动点，已知点 $B(2,0)$ 、 $C(3,0)$ ，试探究 $\mathit{\Delta BCP}\text{'}$ 的面积是否有最小值？若有，求出该最小值；若没有，请说明理由．

在"看图说故事"活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校 $12\mathit{km}$ ，陈列馆离学校 $20\mathit{km}$ ．李华从学校出发，匀速骑行 $0.6h$ 到达书店；在书店停留 $0.4h$ 后，匀速骑行 $0.5h$ 到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行 $0.5h$ 后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离 $y\mathit{km}$ 与离开学校的时间 $xh$ 之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①书店到陈列馆的距离为 　　 $\mathit{km}$ ；

②李华在陈列馆参观学习的时间为 　　 $h$ ；

③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为 　　 $\mathit{km}/h$ ；

④当李华离学校的距离为 $4\mathit{km}$ 时，他离开学校的时间为 　　 $h$ ．

（Ⅲ）当 $0⩽x⩽1.5$ 时，请直接写出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的利润是40元．

（1）已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这种农产品的箱数分别是多少？

（2）经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的 $30\%$．现该公司要经营1000箱这种农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？