2022年中考数学专题:二次函数(二)
已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y=bx+c 的图象和反比例函数 y=a+b+cx 的图象在同一坐标系中大致为 ( )
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示,则下列结论中不正确的是 ( )
A. |
abc>0 |
B. |
函数的最大值为 a-b+c |
C. |
当 -3⩽x⩽1 时, y⩾0 |
D. |
4a-2b+c<0 |
已知二次函数 y=ax2−bx+c(a≠0) 的图象经过第一象限的点 (1,−b) ,则一次函数 y=bx−ac 的图象不经过 ( )
A. |
第一象限 |
B. |
第二象限 |
C. |
第三象限 |
D. |
第四象限 |
如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴在 y 轴右侧,抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0) 和点 B ,与 y 轴的负半轴交于点 C ,且 OB=2OC ,则下列结论:① a-bc>0 ;② 2b-4ac=1 ;③ a=14 ;④当 -1<b<0 时,在 x 轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点 M , N (点 M 在点 N 左边),使得 AN⊥BM ,其中正确的有 ( )
A. |
1个 |
B. |
2个 |
C. |
3个 |
D. |
4个 |
已知 A 、 B 两点的坐标分别为 (3,-4) 、 (0,-2) ,线段 AB 上有一动点 M(m,n) ,过点 M 作 x 轴的平行线交抛物线 y=a(x-1)2+2 于 P(x1 , y1) 、 Q(x2 , y2) 两点.若 x1<m⩽x2 ,则 a 的取值范围为 ( )
A. |
-4⩽a<-32 |
B. |
-4⩽a⩽-32 |
C. |
-32⩽a<0 |
D. |
-32<a<0 |
若二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示,则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=-cx 在同一个坐标系内的大致图象为 ( )
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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定义: [a, b, c]为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数,下面给出特征数为 [m, 1−m, 2−m]的二次函数的一些结论:①当 m=1时,函数图象的对称轴是 y轴;②当 m=2时,函数图象过原点;③当 m>0时,函数有最小值;④如果 m<0,当 x>12时, y随 x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是 .
将二次函数 y=-x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直线 y=x+b 与新函数的图象恰有3个公共点时, b 的值为 ( )
A. |
-214 或 -3 |
B. |
-134 或 -3 |
C. |
214 或 -3 |
D. |
134 或 -3 |
已知二次函数 y=ax2−bx+c(a≠0)的图象经过第一象限的点 (1,−b),则一次函数 y=bx−ac的图象不经过 ( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
下表中列出的是一个二次函数的自变量 x 与函数 y 的几组对应值:
x |
… |
−2 |
0 |
1 |
3 |
… |
y |
… |
6 |
−4 |
−6 |
−4 |
… |
下列各选项中,正确的是 ( )
A. |
这个函数的图象开口向下 |
B. |
这个函数的图象与 x 轴无交点 |
C. |
这个函数的最小值小于 −6 |
D. |
当 x>1 时, y 的值随 x 值的增大而增大 |
如图,已知点 A(4,3) ,点 B 为直线 y=-2 上的一动点,点 C(0,n) , -2<n<3 , AC⊥BC 于点 C ,连接 AB .若直线 AB 与 x 正半轴所夹的锐角为 α ,那么当 sinα 的值最大时, n 的值为 .
关于抛物线 y=ax2-2x+1(a≠0),给出下列结论:
①当 a<0时,抛物线与直线 y=2x+2没有交点;
②若抛物线与 x轴有两个交点,则其中一定有一个交点在点 (0,0)与 (1,0)之间;
③若抛物线的顶点在点 (0,0), (2,0), (0,2)围成的三角形区域内(包括边界),则 a⩾1.
其中正确结论的序号是 .
如图,在平面直角坐标系中,点 A(2,4) 在抛物线 y=ax2 上,过点 A 作 y 轴的垂线,交抛物线于另一点 B ,点 C 、 D 在线段 AB 上,分别过点 C 、 D 作 x 轴的垂线交抛物线于 E 、 F 两点.当四边形 CDFE 为正方形时,线段 CD 的长为 .
以初速度 v (单位: m/s) 从地面竖直向上抛出小球,从抛出到落地的过程中,小球的高度 h (单位: m) 与小球的运动时间 t (单位: s) 之间的关系式是 h=vt-4.9t2 .现将某弹性小球从地面竖直向上抛出,初速度为 v1 ,经过时间 t1 落回地面,运动过程中小球的最大高度为 h1 (如图 1) ;小球落地后,竖直向上弹起,初速度为 v2 ,经过时间 t2 落回地面,运动过程中小球的最大高度为 h2 (如图 2) .若 h1=2h2 ,则 t1:t2= .
从喷水池喷头喷出的水珠,在空中形成一条抛物线,如图所示,在抛物线各个位置上,水珠的竖直高度 y(单位: m)与它距离喷头的水平距离 x(单位: m)之间满足函数关系式 y=-2x2+4x+1喷出水珠的最大高度是 m.
如图是抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象,图象过点 (3,0) ,对称轴为直线 x=1 ,有下列四个结论:① abc>0 ;② a−b+c=0 ;③ y 的最大值为3;④方程 ax2+bx+c+1=0 有实数根.其中正确的为 (将所有正确结论的序号都填入).
已知抛物线 y=x2−2x−3与 x轴交于 A, B两点(点 A在点 B的左侧)与 y轴交于点 C,点 D(4,y)在抛物线上, E是该抛物线对称轴上一动点,当 BE+DE的值最小时, ΔACE的面积为 .
如图,在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,点 C 为 y 轴正半轴上的一个动点,过点 C 的直线与二次函数 y=x2 的图象交于 A 、 B 两点,且 CB=3AC , P 为 CB 的中点,设点 P 的坐标为 P(x , y)(x>0) ,写出 y 关于 x 的函数表达式为: .
公路上正在行驶的甲车,发现前方 20m 处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程 s (单位: m) 、速度 v (单位: m/s) 与时间 t (单位: s) 的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.
(1)当甲车减速至 9m/s 时,它行驶的路程是多少?
(2)若乙车以 10m/s 的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少?
在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴交于点 A(-1,0)和点 B,与 y轴交于点 C,顶点 D的坐标为 (1,-4).
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 P在抛物线上且满足 ∠PCB=∠CBD,求点 P的坐标;
(3)如图2, M是直线 BC上一个动点,过点 M作 MN⊥x轴交抛物线于点 N, Q是直线 AC上一个动点,当 ΔQMN为等腰直角三角形时,直接写出此时点 M及其对应点 Q的坐标.
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y=ax2+bx−4 交 x 轴于 A(−1,0) 、 B(4,0) 两点,交 y 轴于点 C .
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 P 为第四象限内抛物线上一点,连接 PB ,过点 C 作 CQ//BP 交 x 轴于点 Q ,连接 PQ ,求 ΔPBQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线 y=ax2+bx−4 向右平移经过点 (12 , 0) 时,得到新抛物线 y=a1x2+b1x+c1 ,点 E 在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点 F ,使得以 A 、 P 、 E 、 F 为顶点的四边形为矩形,若存在,请写出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由.
参考:若点 P1(x1 , y1) 、 P2(x2 , y2) ,则线段 P1P2 的中点 P0 的坐标为 (x1+x22 , y1+y22) .
在平面直角坐标系中,抛物线 y1=-(x+4)(x-n)与 x轴交于点 A和点 B(n, 0)(n⩾-4),顶点坐标记为 (h1, k1).抛物线 y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为 (h2, k2).
(1)写出 A点坐标;
(2)求 k1, k2的值(用含 n的代数式表示)
(3)当 -4⩽n⩽4时,探究 k1与 k2的大小关系;
(4)经过点 M(2n+9,-5n2)和点 N(2n,9-5n2)的直线与抛物线 y1=-(x+4)(x-n), y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时,求 n的值.
如图,已知抛物线 y=ax2+bx+4(a≠0)与 x轴交于点 A(1,0)和 B,与 y轴交于点 C,对称轴为直线 x=52.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 P是线段 BC上的一个动点(不与点 B, C重合),过点 P作 y轴的平行线交抛物线于点 Q,连接 OQ,当线段 PQ长度最大时,判断四边形 OCPQ的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下, D是 OC的中点,过点 Q的直线与抛物线交于点 E,且 ∠DQE=2∠ODQ.在 y轴上是否存在点 F,得 ΔBEF为等腰三角形?若存在,求点 F的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中, ΔAOB的边 OA在 x轴上, OA=AB,且线段 OA的长是方程 x2-4x-5=0的根,过点 B作 BE⊥x轴,垂足为 E, tan∠BAE=43,动点 M以每秒1个单位长度的速度,从点 A出发,沿线段 AB向点 B运动,到达点 B停止.过点 M作 x轴的垂线,垂足为 D,以 MD为边作正方形 MDCF,点 C在线段 OA上,设正方形 MDCF与 ΔAOB重叠部分的面积为 S,点 M的运动时间为 t(t>0)秒.
(1)求点 B的坐标;
(2)求 S关于 t的函数关系式,并写出自变量 t的取值范围;
(3)当点 F落在线段 OB上时,坐标平面内是否存在一点 P,使以 M、 A、 O、 P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,已知经过原点的抛物线 y=2x2+mx 与 x 轴交于另一点 A(2,0) .
(1)求 m 的值和抛物线顶点 M 的坐标;
(2)求直线 AM 的解析式.
二次函数 y=x2-2mx的图象交 x轴于原点 O及点 A.
感知特例
(1)当 m=1时,如图1,抛物线 L:y=x2-2x上的点 B, O, C, A, D分别关于点 A中心对称的点为 B', , , , ,如表:
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, |
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①补全表格;
②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为 .
形成概念
我们发现形如(1)中的图象 上的点和抛物线 上的点关于点 中心对称,则称 是 的“孔像抛物线”.例如,当 时,图2中的抛物线 是抛物线 的“孔像抛物线”.
探究问题
(2)①当 时,若抛物线 与它的“孔像抛物线” 的函数值都随着 的增大而减小,则 的取值范围为 ;
②在同一平面直角坐标系中,当 取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 的所有“孔像抛物线” 都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 (填“ ”或“ ”或“ ”或“ ”,其中 ;
③若二次函数 及它的“孔像抛物线”与直线 有且只有三个交点,求 的值.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .