2022年甘肃省兰州市中考数学试卷

计算： $\sqrt{4}=$（　　）

如图，直线 $a\parallel b$，直线 $c$与直线 $a，b$分别相交于点 $A，B$， $AC\perp b$，垂足为 $C$．若 $\angle 1＝52°$，则 $\angle 2＝$（　　）

下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是（　　）

计算： $（x+2y{）}^2＝$（　　）

如图， $△ABC$内接于 $\odot O$， $CD$是 $\odot O$的直径， $\angle ACD＝40°$，则 $\angle B＝$（　　）

若一次函数 $y＝2x+1$的图象经过点 $（﹣3，y_1），（4，y_2）$，则 $y_1$与 $y_2$的大小关系是（　　）

关于 $x$的一元二次方程 $k{x}^2+2x﹣1＝0$有两个相等的实数根，则 $k＝$（　　）

已知 $△ABC\backsim △DEF$， $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}$，若 $BC＝2$，则 $EF＝$（　　）

无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有 $5$瓶缺失标签的无色液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意一瓶液体后呈现红色的概率是（　　）

如图，菱形 $ABCD$的对角线 $AC$与 $BD$相交于点 $O$， $E$为 $AD$的中点，连接 $OE$， $\angle ABC＝60°$， $BD＝4\sqrt{3}$，则 $OE＝$（　　）

已知二次函数 $y＝2x^2﹣4x+5$，当函数值 $y$随 $x$值的增大而增大时， $x$的取值范围是（　　）

如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以 $O$为圆心， $OA，OB$长分别为半径，圆心角 $\angle O＝120°$形成的扇面，若 $OA＝3m，OB＝1.5m$，则阴影部分的面积为（　　）

因式分解 $a^2﹣16＝$＿＿＿＿＿＿＿＿．

如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是 $（2，2）$，中山桥的坐标是 $（3，0）$，那么黄河母亲像的坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿．

如图，在矩形纸片 $ABCD$中，点 $E$在 $BC$边上，将 $△CDE$沿 $DE$翻折得到 $△FDE$，点 $F$落在 $AE$上．若 $CE＝3cm，AF＝2EF$，则 $AB＝$＿＿＿＿＿ $cm$．

2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据：

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是＿＿＿＿＿.（结果精确到 $0.1$）

解不等式： $2（x﹣3）＜8$．

计算： $（1+\frac{1}{\mathrm{x}}）$ $÷\frac{({\mathrm{x}}^2+\mathrm{x})}{\mathrm{x}}$．

如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示， $AB＝AE，AC＝AD，\angle BAD＝\angle EAC，\angle C＝50°$，求 $\angle D$的大小．

如图，小睿为测量公园的一凉亭 $AB$的高度，他先在水平地面点 $E$处用高 $1.5m$的测角仪DE测得 $\angle ADC＝31°$，然后沿 $EB$方向向前走 $3m$到达点 $G$处，在点 $G$处用高 $1.5m$的测角仪 $FG$测得 $\angle AFC＝42°$．求凉亭 $AB$的高度．（ $A，C，B$三点共线， $AB\perp BE，AC\perp CD，CD＝BE，BC＝DE$．结果精确到 $0.1m$）

（参考数据： $\sin 31°\approx 0.52，\cos 31°\approx 0.86，\tan 31°\approx 0.60，\sin 42°\approx 0.67，\cos 42°\approx 0.74，\tan 42°\approx 0.90$）

人口问题是“国之大者”，以习近平同志为核心的党中央高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：

信息一：普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：

（数据分成 $6$组： $0\le x＜20，20\le x＜40，40\le x＜60，60\le x＜80，80\le x＜100，100\le x\le 120$）

信息二：普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在 $40\le x＜60$这一组的数据是： $58，47，45，40，43，42，50$；

信息三： $2010﹣2021$年全国大陆人口数及自然增长率；

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）普查登记的全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 ＿＿＿＿百万人．

（2）下列结论正确的是＿＿＿＿．（只填序号）

①全国大陆 $31$个省、自治区、直辖市中人口数大于等于 $100$（百万人）的有2个地区；

②相对于 $2020$年， $2021$年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；

③ $2010﹣2021$年全国大陆人口自然增长率持续降低．

（3）请写出 $2016﹣2021$年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．

综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 $AB＝AC$，在圆上标记 $A，B，C$三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在 $A，B$点上，“矩”的另一条边与的交点标记为 $D$点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的 $A，B，C，D$四点，连接 $AD，BC$相交于点 $O$，即 $O$为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心 $O$．如图3，点 $A，B，C$在 $\odot O$上， $AB\perp AC$，且 $AB＝AC$，请作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果 $AB$和 $AC$不相等，用三角板也可以确定圆心 $O$．如图4，点 $A，B，C$在 $\odot O$上， $AB\perp AC$，请作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点 $A，B，C$是 $\odot O$上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心 $O$．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

如图，在 $Rt△ABC$中， $\angle ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm$， $M$为 $AB$边上一动点， $BN\perp CM$，垂足为 $N$．设 $A，M$两点间的距离为 $xcm（0\le x\le 5）$， $B，N$两点间的距离为 $ycm$（当点 $M$和 $B$点重合时， $B，N$两点间的距离为 $0$）．

小明根据学习函数的经验，对因变量 $y$随自变量 $x$的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据 $A，M$两点间的距离 $x$进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$与 $x$的几组对应值：

请你通过计算，补全表格： $a＝$＿＿＿＿＿；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 $（x，y）$，并画出函数 $y$关于 $x$的图象；

（3）探究性质：随着自变量 $x$的不断增大，函数 $y$的变化趋势：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）解决问题：当 $BN＝2AM$时， $AM$的长度大约是＿＿＿＿＿ $cm$．（结果保留两位小数）

掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y（m）$与水平距离 $x（m）$之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 $\frac{5}{3}m$，当水平距离为 $3m$时，实心球行进至最高点 $3m$处．

（1）求 $y$关于 $x$的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 $6.70m$，此项考试得分为满分 $10$分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

如图，点A在反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$的图象上， $AB\perp x$轴，垂足为 $B（3，0）$，过 $C（5，0）$作 $CD\perp x$轴，交过 $B$点的一次函数 $y=\frac{3}{2}x+b$的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$点， $S_{△AOB}＝3$．

（1）求反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}（x＞0）$和一次函数 $y=\frac{3}{2}x+b$的表达式；

（2）求 $DE$的长．

如图， $\odot O$是 $△ABC$的外接圆， $AB$是直径， $OD\perp OC$，连接 $AD$， $\angle ADO＝\angle BOC$， $AC$与 $OD$相交于点 $E$．

（1）求证： $AD$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $tan\angle OAC=\frac{1}{2}$， $AD=\frac{3}{2}$，求 $\odot O$的半径．

在平面直角坐标系中， $P（a，b）$是第一象限内一点，给出如下定义： $k_1=\frac{a}{b}$和 $k_2=\frac{b}{a}$两个值中的最大值叫做点 $P$的“倾斜系数” $k$．

（1）求点 $P（6，2）$的“倾斜系数” $k$的值；

（2）①若点 $P（a，b）$的“倾斜系数” $k＝2$，请写出 $a$和 $b$的数量关系，并说明理由；

②若点 $P（a，b）$的“倾斜系数” $k＝2$，且 $a+b＝3$，求 $OP$的长；

（3）如图，边长为 $2$的正方形 $ABCD$沿直线 $AC：y＝x$运动， $P（a，b）$是正方形 $ABCD$上任意一点，且点 $P$的“倾斜系数” $\mathrm{k}\mathrm{＜}\sqrt{3}$，请直接写出 $a$的取值范围．

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $ABCD$中，E是BC的中点， $AE\perp EP$， $EP$与正方形的外角 $\angle DCG$的平分线交于 $P$点．试猜想 $AE$与 $EP$的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $AB$的中点 $F$，连接 $EF$可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $CP$，可以求出 $\angle DCP$的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $DP$．知道正方形的边长时，可以求出 $△ADP$周长的最小值．当 $AB＝4$时，请你求出 $△ADP$周长的最小值．