综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $ABCD$中，E是BC的中点， $AE\perp EP$， $EP$与正方形的外角 $\angle DCG$的平分线交于 $P$点．试猜想 $AE$与 $EP$的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $AB$的中点 $F$，连接 $EF$可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $CP$，可以求出 $\angle DCP$的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $DP$．知道正方形的边长时，可以求出 $△ADP$周长的最小值．当 $AB＝4$时，请你求出 $△ADP$周长的最小值．