全国重点高中提前招生真题过关（二）

在平面直角坐标系中，若直线 $y=-x+m$不经过第一象限，则关于 $x$的方程 $m{x}^2+x+1=0$的实数根的个数为（ ）.

如果直角三角形的两条直角边都是整数，且总是方程 $m{x}^2-2x-m+1=0$的两根（ $m$为整数），则这样的直角三角形（ ）.

已知 $a,b,c$为正数，若关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$有两个实数根，则关于 $x$的方程 $a^2{x}^2+b^{2}x+c^2=0$解的情况为（ ）.

设 $a,b$为整数，并且一元二次方程 $x^2+(2a+b+3)x+\left(a^2+\mathit{ab}+6\right)=0$有等根 $\alpha$，而一元二次方程 $2a{x}^2+(4a-2b-2)x+(2a-2b-1)=0$有等根 $\beta$，那么，以 $\alpha$， $\beta$为根的整系数一元二次方程是（ ）.

已知 $b^2-4\mathit{ac}$是一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$的一个实数根，则 $\mathit{ab}$的取值范围为（ ）.

已知关于 $x$的方程 $\frac{x}{x-2}+\frac{x-2}{x}=\frac{a-2x}{x^2-2x}$只有一个根，则实数 $a$的值有（ ）.

欧几里德的《原本》记载，形如 $x^2+\mathit{ax}=b^2$的方程的图解法是:画 $Rt\Delta ABC$，使 $\angle \mathit{ACB}=90°,$ $\mathit{BC}=\frac{a}{2},\mathit{AC}=b$，再在斜边 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{BD}=\frac{a}{2}$.则该方程的一个正根是（ ）.

对于任意的有理数 $a$，方程 $2x^2+(a+1)x-$ $\left(3a^2-4a+b\right)=0$的根总是有理数，则 $b$的值为（ ）.

方程 $x^2-9x+18=0$的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为＿＿＿＿＿.

若 $m,n$是一元二次方程 $x^2+2x-1=0$的两个实数根，则 $m^2+4m+2n$的值是＿＿＿＿＿.

已知 $a$为实数，且使关于 $x$的二次方程 $x^2+a^{2}x+a=0$有实根，该方程的根 $x$所能取到的最大值是＿＿＿＿＿.

若实数 $x,y$满足 $x^3+y^3+\frac{1}{4}(x+y)=\frac{15}{2}$，则 $x+y$的最大值为＿＿＿＿＿.

已知一元二次方程 $2x^2-2x+3m-1=0$有两个实数根 $x_1,x_2$，且满足不等式 $\frac{x_1{x}_2}{x_1+x_2-4}<1$，则实数 $m$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知方程 $x^2-2021x+1=0$的两根分别为 $x_1,x_2$，则 $x_1^2-\frac{2021}{x_2}$的值为＿＿＿＿＿.

已知 $a>b>0$，且 $\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{3}{b-a}=0$，则 $\frac{b}{a}=$＿＿＿＿＿.

已知 $x_1,x_2$是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$的两个实数根，且 $\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)=28$.若 $x_1,x_2$恰好是一边长为7的等腰三角形的另外两边的长，则这个等腰三角形的周长为＿＿＿＿＿.

已知关于 $x$的方程 $\left(m^2-1\right)x^2-3(3m-1)x+18=0$有两个正整数根（ $m$是整数）. $\Delta ABC$的三边 $a,b$、 $c$满足 $c=2\sqrt{3},m^2+a^{2}m-8a=0,m^2+b^{2}m-8b=0$.

求:（1） $m$的值；

（2） $\Delta ABC$的面积.

已知 $a,b,c$三数满足方程组 $\left\{\begin{array}{c}a+b=8,\\ \mathit{ab}-c^2+8\sqrt{2}c=48,\end{array}\right.$试求方程 $b{x}^2+\mathit{cx}-a=0$的根.

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AB},\mathit{CD}$交于点 $O,S_{\mathit{AOB}}=4,S_{\mathit{COD}}=9$，求四边形 $\mathit{ABCD}$面积的最小值.

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 $3$份“堂食”小面和 $2$份“生食”小面的总售价为 $31$元， $4$份“堂食”小面和 $1$份“生食”小面的总售价为 $33$元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面 $4500$份，“生食”小面 $2500$份.为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 $\frac{5}{2}a\%$，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 $\frac{5}{11}a\%$.求 $a$的值.

如图①. $\Delta ABC,\Delta AED$都是等腰直角三角形， $\angle \mathit{ABC}=\angle E=90°,$ $\mathit{AE}=a$. $A=b$，且 $a<b$，点 $D$在 $\mathit{AC}$上，连接 $\mathit{BD},\mathit{BD}=c$.

（1）如果 $c=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

①求 $\frac{a}{b}$的值；②若 $a,b$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+\frac{1}{25}{m}^2-\frac{2}{5}m+\frac{3}{5}=0$的两实数根，求 $m$的值；

（2）如图②，将 $\Delta ADE$绕点 $A$逆时针旋特，使 $\mathit{BE}=100$，连接 $\mathit{DC}$.求五边形 $\mathit{ABCDE}$的面积.

如图，在 $\Delta ABC$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\mathit{AB}=p,\mathit{BC}=q$，且 $p,q$是关于 $x$的方程 $x^2-\mathit{mx}+3m=0$的两个实数根，若 $|p+2q|=\frac{1}{3}\mathit{pq}+6$，试在 $\mathit{\Delta ABC}$内找一点 $P$，使点 $P$到 $A,B,C$三点的距离之和最小，求出最小值并说明理由.

已知 $\Delta ABC$的两边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0$的两个实数根，第三边 $\mathit{BC}=5$.

（1） $k$为何值时， $\Delta ABC$是以 $\mathit{BC}$为斜边的直角三角形?

（2） $k$为何值时， $\Delta ABC$是等腰三角形?并求此时 $\Delta ABC$的周长.