2009年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅰ）

函数 $f\left(x\right)$的定义域为R，若 $f(x+1)$与 $f(x-1)$都是奇函数，则（）

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$的右焦点为 $F$,右准线为 $l$,点 $A\in l$,线段 $AF$交 $C$于点 $B$,若 $\stackrel{\rightharpoonup }{FA}=3\stackrel{\rightharpoonup }{FB}$,则 $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{AF}\right|=$（）

在 $△ABC$中，内角 $A$、 $B$、 $C$的对边长分别为 $a$、 $b$、 $c$，已知 $a^2-c^2=2b$，且 $\sin A\cos C=3\cos A\sin C$;求 $b$

设函数 $f\left(x\right)=x^3+3b{x}^2+3cx$在两个极值点 $x_1,x_2$，且 $x_1\in \left[-1,0\right],x_2\in \left[1,2\right]$。
（Ⅰ）求 $b,c$满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点 $\left(b,c\right)$的区域；

（II）证明： $-10\le f\left(x_2\right)\le -\frac{1}{2}$

已知 $\frac{\bar{z}}{1+i}=2+i$,则复数 $z=$（）

设 $a,b,c$是单位向量，且 $a·b=0$，则 $(a-c)·(b-c)$的最小值为

已知直线 $y=x+1$与曲线 $y=\ln (x+a)$相切，则 $a$的值为

直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$的各顶点都在同一球面上，若 $AB=AC=A{A}_1=2$, $\angle BAC=120°$，则此球的表面积等于.

若 $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$，则函数 $y=\tan 2x{\tan }^{3}x$的最大值为.

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（2）设 $\xi$表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 $\xi$的分布列及数学期望。

在数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=1,a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)a_n+\frac{n+1}{2^n}$

（I）设 $b_n=\frac{a_n}{n}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式；
（II）求数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$.

如图，四棱锥 $S-ABCD$中，底面 $ABCD$为矩形， $SD\perp \mathrm{底面}ABCD$， $AD=\sqrt{2}$， $BD=SD=2$, $M$在侧棱 $SC$上， $\angle ABM=60°$.

（I）证明： $M$是侧棱 $SC$的中点；
（Ⅱ）求二面角 $S-AM-B$的大小.

如图，已知抛物线 $E:y^2=x$与圆 $M:(x-4{)}^2+y^2=r^2(r>0)$相交于 $A,B,C,D$四个点.
（Ⅰ）求 $r$的取值范围
（Ⅱ）当四边形 $ABCD$的面积最大时，求对角线 $AC,BD$的交点 $P$的坐标.