2010年高考试题分项版文科数学之专题三 数列

已知 $\left|a_n\right|$ 为等差数列,且 $a_3=-6,a_6=0$ .

（Ⅰ）求 $\left|a_n\right|$ 的通项公式;
（Ⅱ）若等差数列 $\left|b_n\right|$ 满足 $b_1=-8,b_2=a_1+a_2+a_3$ ,求 $\left|b_n\right|$ 的前 $n$ 项和公式.

数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=\frac{1}{3}$，前 $n$项和 $S_n$满足 $S_{n+1}-S_n={\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\left(n\in N^{*}\right)$.

(I)求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式 $a_n$以及前 $n$项和 $S_n$.
(II)若 $S_1,t\left(S_1+S_2\right),3\left(S_2+S_3\right)$成等差数列，求实数 $t$的值.

设 $S_n$为等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和， $8a_2+a_5=0$则 $\frac{S_5}{S_2}=$（）

在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第 $n$ 行第 $n+1$ 列的数是   .

设 $a_1,d$为实数，首项为 $a_1$，公差为 $d$的等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和为 $S_n$，满足 $S_5{S}_6+15=0$。
（Ⅰ）若 $S_5=5$，求 $S_5$及 $a_1$；
（Ⅱ）求 $d$的取值范围。

设 $\left\{a_n\right\}$是等比数列,公比 $q=\sqrt{2}$, $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和.记 $T_n=\frac{17S_n-S_{2n}}{a_{n-1}},n\in N^{*}$.设 $T_{n_0}$为数列 $\left\{T_n\right\}$的最大项,则 $n_0=$   .

在数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=0$,且对任意 $k\in N^{*},a_{2k-1},a_{2k},a_{2k+1}$成等差数列，其公差为 $2k$.
（Ⅰ）证明 $a_4,a_5,a_6$成等比数列；
（Ⅱ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅲ）记 $T_n=\frac{2^2}{a_2}+\frac{3^2}{a_3}+\cdots +\frac{n^2}{a_n}$，证明 $\frac{3}{2}<2n-T_n\le 2\left(n\ge 2\right)$.

设等差数列 $\left\{a_n\right\}$满足 $a_3=5$， $a_{10}=-9$。
（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）求 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n$及使得 $S_n$最大的序号 $n$的值。

设数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和 $S_n=n^2$，则 $a_1$的值为（   ）

设 $C_1$ ， $C_2$ ..., $C_n$ ，...是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 $x$ 轴的正半轴上，且都与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 相切，对每一个正整数 $n$ ,圆 $C_n$ 都与圆 $C_{n+1}$ 相互外切，以 $r_n$ 表示 $C_n$ 的半径，已知 $\left\{r_n\right\}$ 为递增数列.

(Ⅰ)证明： $\left\{r_n\right\}$ 为等比数列；
（Ⅱ）设 $r_1$ =1，求数列 $\left\{\frac{n}{r_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

如果等差数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_3+a_4+a_5=12$,那么 $a_1+a_2+...+a_7=$（   ）.

已知 $\left\{a_n\right\}$是各项均为正数的等比数列，且 $a_1+a_2=2\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\right)$， $a_3+a_4+a_5=64\left(\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4}+\frac{1}{a_5}\right)$

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（Ⅱ）设 $b_n={\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)}^2$，求数列 $\left\{b_n\right\}$的前 $n$项和 $T_n$。

设 $S_n$为等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，已知 $2S_3=a_4-2$， $3S_2=a_3-2$，则公比 $q=$

设 $S_n$为等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和，若 $S_3=3,S_5=24$，则 $a_9=$.

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距8 $km$ 的 $A,B$ 两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过 $A,B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（如图）。考察范围到 $A,B$ 两点的距离之和不超过10 $km$ 的区域.
（I）求考察区域边界曲线的方程：
（II）如图4所示，设线段 $P_1{P}_2$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2 $km$ ，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？

给出下面的数表序列，其中表 $n(n=1,2,3,\dots )$ 有 $n$ 行，第1行的 $n$ 个数是1，3，5，…，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（1）写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表 $n(n\ge 3)$ （不要求证明）；

（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为 $\left\{b_n\right\}$ ，求和： $\frac{b_3}{b_1{b}_2}+\frac{b_4}{b_2{b}_3}+...+\frac{b_{n+2}}{b_n{b}_{n+1}}(n\in N^{*})$ .

在等差数列 $\left\{a_n\right\}$中， $a_1+a_2=10$，则 $a_5$的值为（   ）

已知 $\left\{a_n\right\}$是首项为19，公差为-2的等差数列， $S_n$为 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$项和.
（Ⅰ）求通项 $a_n$及 $S_n$；
（Ⅱ）设 $\{b_n-a_n\}$是首项为1，公比为3的等比数列，求数列 $\left\{b_n\right\}$的通项公式及其前 $n$项和 $T_n$.

已知某生产厂家的年利润 $y$（单位：万元）与年产量 $x$（单位：万件）的函数关系式为 $y=-\frac{1}{3}{x}^3+81x-234$，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（   ）

如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ .点 $P$ 为直线 $l:x+y=2$ 上且不在 $x$ 轴上的任意一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求椭圆的标准方程；
（II）设直线 $P{F}_1$ 、 $P{F}_2$ 的斜线分别为 $k_1,k_2$ .
（i）证明： $\frac{1}{k_1}-\frac{3}{k_2}=2$ ；
（ii）问直线 $l$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $OA,OB,OC,OD$ 的斜率 $k_{OA},k_{OB},k_{OC},k_{OD}$ 满足 $k_{OA}+k_{OB}+k_{OC}+k_{OD}=0$ ？若存在，求出所有满足条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由.

已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$中,各项都是正数,且 $a_1,\frac{1}{2}{a}_3,2a_2$成等差数列,则 $\frac{a_9+a_{10}}{a_7+a_8}=$（  ）

已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 $a$（单位： $m^2$），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 $10\%$建设新住房，同事也拆除面积为 $b$（单位： $m^2$）的旧住房。
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 $30\%$，则每年拆除的旧住房面积 $b$是多少？（计算时取 $1.1^5=1.6$）

等比数列 $\left\{a_n\right\}$中， $\left|a_1\right|=1,a_5=-8a_2,a_5>a_2$则 $a_n=$（）

正实数数列 $\left\{a_n\right\}$中, $a_1=1,a_2=5$,且 $\left\{{a_n}^2\right\}$成等差数列.
(1) 证明数列 $\left\{a_n\right\}$中有无穷多项为无理数；
(2)当 $n$为何值时， $a_n$为整数，并求出使 $a_n<200$的所有整数项的和.

已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_n\right\}$, $a_1{a}_2{a}_3=5,a_7{a}_8{a}_9=10$,则 $a_4{a}_5{a}_6=$（  ）.

记等差数列 $\left\{a_n\right\}$的前 $n$的和为 $S_n$，设 $S_3=12$，且 $2a_1,a_2,a_3+1$成等比数列，求 $S_n$.

已知 $\left\{a_n\right\}$是公差不为零的等差数列， $a_1=1$，且 $a_1,a_3,a_9$成等比数列.
（Ⅰ）求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项;

（Ⅱ）求数列 $\left\{2^{a_n}\right\}$的前 $n$项和 $S_n$.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$为等比数列， $S_n$是它的前 $n$项和．若 $a_2·a_3=2a_1$，且 $a_4$与 $2a_7$的等差中项为 $\frac{5}{4}$，则 $S_5$=（   ）.

已知曲线 $C_n:y=n{x}^2$,点 $P_n\left(x_n,y_n\right)\left(x_n>0,y_n>0\right)$是曲线 $C_n$上的点 $\left(n=1,2,\cdots \right)$.
（1）试写出曲线 $C_n$在点 $P_n$处的切线 $l_n$的方程，并求出 $l_n$与 $y$轴的交点 $Q_n$的坐标；
（2）若原点 $O\left(0,0\right)$到 $l_n$的距离与线段 $P_n{Q}_n$的长度之比取得最大值，试求试点 $P_n$ $\left(x_n,y_n\right)$；
（3）设 $m$与 $k$为两个给定的不同的正整数， $x_n$与 $y_n$是满足（2）中条件的点 $P_n$的坐标，证明： $\underset{n=1}{\overset{s}{\sum }}\left|\sqrt{\frac{\left(m+1\right)x_n}{2}}-\sqrt{\left(k+1\right)y_k}\right|<\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|\left(s=1,2,\cdots \right)$