如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点在⊙C上．

（1）求出A、B两点的坐标；
（2）试确定此抛物线的解析式；
（3）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．