如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax² -2x+2的图象与y轴交于点C，以OC为一边向左侧作正方形OCBA,点B刚好落在抛物线上. 

（1）求a的值；
（2）若点D在二次函数y=ax² -2x+2的图象的对称轴上，点E在二次函数y=ax²﹣2x+2的图象上，是否存在以B,C,D,E四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 
（3）如图2，把正方形OCBA绕点O顺时针旋转α后得到正方形A₁B₁C₁O（0°<α<90°）。在旋转过程中，若点A₁落在二次函数y=ax²﹣2x+2的图象对称轴上，求出此时的点B₁的坐标.