如图，曲线抛物线的一部分，且表达式为：曲线与曲线关于直线对称。

（1）求A、B、C三点的坐标和曲线的表达式；
（2）过点D作轴交曲线于点D，连接AD，在曲线上有一点M，使得四边形ACDM为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M的横坐标。
（3）设直线CM与轴交于点N，试问在线段MN下方的曲线上是否存在一点P，使△PMN的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。