在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C₁：y＝x²＋bx＋c经过点A，B.

（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C₁的表达式及顶点坐标；
（3）若拋物线C₂：y＝ax²（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.