如图，矩形$\mathit{ABCD}$的两边分别与坐标轴平行，顶点$A$，$C$都在双曲线$y=\frac{k}{x}$（常数$k>0$，$x>0)$上，若顶点$D$的坐标为$(5,3)$，则直线$\mathit{BD}$的函数表达式是　　．