如图1，在四边形ABCD中，若AC平分∠BAD，AC2AB·

科目：数学
题型：解答题
难度：中等
人气：42

题文

如图1，在四边形 $ABCD$ 中，若 $AC$ 平分 $∠ BAD$ ， $A C^{2} = AB \cdot AD$ ，且 $AD = AB + AC$ ，则我们称这样的四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 称为“黄金角”．

【概念理解】（1）已知四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”， $∠ BAD$ 为“黄金角”， $AB < AD$ ，若 $AD = 1$ ，则 $AC =$ 　　．

【问题探究】（2）如图2，在四边形 $ABCD$ 中， $BC / / AD$ ， $∠ BAC = ∠ DAC = ∠ D = 36 °$ ．求证：四边形 $ABCD$ 为“黄金四边形”．

【拓展延伸】（3）如图3，在“黄金四边形” $ABC A_{1}$ 中， $∠ BA A_{1}$ 为“黄金角”， $AB < A A_{1}$ ，在四边形 $ABC A_{1}$ 外部依次作△ $A A_{1} A_{2}$ ，△ $A A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ ，使四边形 $AC A_{1} A_{2}$ ， $A A_{1} A_{2} A_{3}$ ， $\dots$ 均为“黄金四边形”，且满足 $∠ CA A_{2}$ ， $∠ A_{n} A A_{n + 2} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$ 均为“黄金角”， $A A_{n} < A A_{n + 1} (n = 1$ ，2， $3 \dots)$

①若 $AC = 1$ ，则第 $n$ 个“黄金四边形”中， $A A_{n} =$ 　　（用含 $n$ 的式子表示）．

②若“黄金角” $∠ BA A_{1} = 80 °$ ，则当 $A$ ， $B$ ， $A_{n}$ 三点第一次在同一条直线上时， $n =$ 　　．

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