阅读下面材料，完成（1） $-$（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $D$、 $E$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AB}=\mathit{kBD}$（其中 $\frac{\sqrt{2}}{2}<k<1)\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}+\angle \mathit{BAE}$， $\angle \mathit{EAC}$的平分线与 $\mathit{BC}$相交于点 $F$， $\mathit{BG}\perp \mathit{AF}$，垂足为 $G$，探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现 $\angle \mathit{BAE}$与 $\angle \mathit{DAC}$相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系．”

$\dots \dots$

老师：“保留原题条件，延长图1中的 $\mathit{BG}$，与 $\mathit{AC}$相交于点 $H$（如图 $2)$，可以求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值．”

（1）求证： $\angle \mathit{BAE}=\angle \mathit{DAC}$；

（2）探究线段 $\mathit{BG}$与 $\mathit{AC}$的数量关系（用含 $k$的代数式表示），并证明；

（3）直接写出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{HC}}$的值（用含 $k$的代数式表示）．