某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆 $O$的圆心与矩形 $\mathit{ABCD}$对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切 $(E$为上切点），与左右两边相交 $(F$， $G$为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为 $1m$，根据设计要求，若 $\angle \mathit{EOF}=45°$，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为　　．