数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．

猜想发现

由 $5+5=2\sqrt{5\times 5}=10$； $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=2\sqrt{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}=\frac{2}{3}$； $0.4+0.4=2\sqrt{0.4\times 0.4}=0.8$； $\frac{1}{5}+5>2\sqrt{\frac{1}{5}\times 5}=2$； $0.2+3.2>2\sqrt{0.2\times 3.2}=1.6$； $\frac{1}{2}+\frac{1}{8}>2\sqrt{\frac{1}{2}\times \frac{1}{8}}=\frac{1}{2}$．

猜想：如果 $a>0$， $b>0$，那么存在 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想证明

$\because {(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^2⩾0$，

$\therefore$①当且仅当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$，即 $a=b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b=0$， $\therefore a+b=2\sqrt{\mathit{ab}}$；

②当 $\sqrt{a}-\sqrt{b}\ne 0$，即 $a\ne b$时， $a-2\sqrt{\mathit{ab}}+b>0$， $\therefore a+b>2\sqrt{\mathit{ab}}$．

综合上述可得：若 $a>0$， $b>0$，则 $a+b⩾2\sqrt{\mathit{ab}}$成立（当且仅当 $a=b$时等号成立）．

猜想运用

对于函数 $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

变式探究

对于函数 $y=\frac{1}{x-3}+x(x>3)$，当 $x$取何值时，函数 $y$的值最小？最小值是多少？

拓展应用

疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为 $S$（米 ${}^2)$．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积 $S$最大？最大面积是多少？