如图，在边长为 $4$ 的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中将 $\Delta ABD$ 沿射线 $\mathit{BD}$ 平移，得到 $\Delta EGF$ ，连接 $\mathit{EC}$ 、 $\mathit{GC}$ ．求 $\mathit{EC}+\mathit{GC}$ 的最小值为 ______ ．