初中数学平面直角坐标系试题

如图，在直角坐标系中，点 $A$在函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象上， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{AB}$的垂直平分线与 $y$轴交于点 $C$，与函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象交于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{CB}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{DA}$，则四边形 $\mathit{ACBD}$的面积等于 $($　　 $)$

A．2B． $2\sqrt{3}$C．4D． $4\sqrt{3}$

如图1，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=6$，点 $A$的坐标为 $(1,-4)$，点 $D$的坐标为 $(-3,4)$，点 $B$在第四象限，点 $P$是 $▱\mathit{ABCD}$边上的一个动点．

（1）若点 $P$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{PD}=\mathit{CD}$，求点 $P$的坐标．

（2）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，点 $P$关于坐标轴对称的点 $Q$落在直线 $y=x-1$上，求点 $P$的坐标．

（3）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，点 $G$是 $\mathit{AD}$与 $y$轴的交点，如图2，过点 $P$作 $y$轴的平行线 $\mathit{PM}$，过点 $G$作 $x$轴的平行线 $\mathit{GM}$，它们相交于点 $M$，将 $\mathit{\Delta PGM}$沿直线 $\mathit{PG}$翻折，当点 $M$的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$的坐标．（直接写出答案）

如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于 $A$， $B$两点， $P$是线段 $\mathit{AB}$上任意一点（不包括端点），过 $P$分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10，则该直线的函数表达式是 $($　　 $)$

A． $y=x+5$B． $y=x+10$C． $y=-x+5$D． $y=-x+10$

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

已知直角坐标系内有四个点 $O(0,0)$， $A(3,0)$， $B(1,1)$， $C(x,1)$，若以 $O$， $A$， $B$， $C$为顶点的四边形是平行四边形，则 $x=$　　．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，点 $A$的坐标为 $(-6,0)$．如图1，正方形 $\mathit{OBCD}$的顶点 $B$在 $x$轴的负半轴上，点 $C$在第二象限．现将正方形 $\mathit{OBCD}$绕点 $O$顺时针旋转角 $\alpha$得到正方形 $\mathit{OEFG}$．

（1）如图2，若 $\alpha =60°$， $\mathit{OE}=\mathit{OA}$，求直线 $\mathit{EF}$的函数表达式．

（2）若 $\alpha$为锐角， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$，当 $\mathit{AE}$取得最小值时，求正方形 $\mathit{OEFG}$的面积．

（3）当正方形 $\mathit{OEFG}$的顶点 $F$落在 $y$轴上时，直线 $\mathit{AE}$与直线 $\mathit{FG}$相交于点 $P$， $\mathit{\Delta OEP}$的其中两边之比能否为 $\sqrt{2}:1$？若能，求点 $P$的坐标；若不能，试说明理由

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

在平面直角坐标系中，已知 $A(2,3)$， $B(0,1)$， $C(3,1)$，若线段 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$互相平分，则点 $D$关于坐标原点的对称点的坐标为　　．

如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 $\mathit{OA}{A}_1$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上，点 $A_1$在第一象限，且 $\mathit{OA}=1$，以点 $A_1$为直角顶点， $O{A}_1$为一直角边作等腰直角三角形 $O{A}_1{A}_2$，再以点 $A_2$为直角顶点， $O{A}_2$为直角边作等腰直角三角形 $O{A}_2{A}_3\dots$依此规律，则点 $A_{2018}$的坐标是　　．

请阅读以下材料：已知向量 $\vec{a}=(x_1$， $y_1)$， $\vec{b}=(x_2$， $y_2)$满足下列条件：

① $\left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$， $\left|\vec{b}\right|=\sqrt{x_2^2+y_2^2}$

② $\vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha$（角 $\alpha$的取值范围是 $0°<\alpha <90°)$；

③ $\vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$

利用上述所给条件解答问题：

如：已知 $\vec{a}=(1,\sqrt{3})$， $\vec{b}=(-\sqrt{3}$， $3)$，求角 $\alpha$的大小；

解： $\because \left|\vec{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2$，

$\vec{b}=\sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{{(-\sqrt{3})}^2+3^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\therefore \vec{a}\otimes \vec{b}=\left|\vec{a}\right|\times \left|\vec{b}\right|\cos \alpha =2\times 2\sqrt{3}\cos \alpha =4\sqrt{3}\cos \alpha$

又 $\because \vec{a}\otimes \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=1\times (-\sqrt{3})+\sqrt{3}\times 3=2\sqrt{3}$

$\therefore 4\sqrt{3}\cos \alpha =2\sqrt{3}$

$\therefore \cos \alpha =\frac{1}{2}$， $\therefore \alpha =60°$

$\therefore$角 $\alpha$的值为 $60°$．

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知 $\vec{a}=(1,0)$， $\vec{b}=(1,-1)$，求角 $\alpha$的大小．

若点 $A(a+1,b-2)$在第二象限，则点 $B(-a,1-b)$在 $($　　 $)$

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

如图，直线 $y=-x+1$与两坐标轴分别交于 $A$， $B$两点，将线段 $\mathit{OA}$分成 $n$等份，分点分别为 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $\dots$， $P_{n-1}$，过每个分点作 $x$轴的垂线分别交直线 $\mathit{AB}$于点 $T_1$， $T_2$， $T_3$， $\dots$， $T_{n-1}$，用 $S_1$， $S_2$， $S_3$， $\dots$， $S_{n-1}$分别表示 $\mathit{Rt}$△ $T_{1}O{P}_1$， $\mathit{Rt}$△ $T_2{P}_1{P}_2$， $\dots$， $\mathit{Rt}$△ $T_{n-1}{P}_{n-2}{P}_{n-1}$的面积，则 $S_1+S_2+S_3+\dots +S_{n-1}=$　　．

如图，在中国象棋的残局上建立平面直角坐标系，如果“相”和“兵”的坐标分别是 $(3,-1)$和 $(-3,1)$，那么“卒”的坐标为　　．

在平面直角坐标系内，以原点 $O$为圆心，1为半径作圆，点 $P$在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上运动，过点 $P$作该圆的一条切线，切点为 $A$，则 $\mathit{PA}$的最小值为 $($　　 $)$

A．3B．2C． $\sqrt{3}$D． $\sqrt{2}$