初中数学平面直角坐标系试题

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1．对于点 $A$和线段 $\mathit{BC}$，给出如下定义：若将线段 $\mathit{BC}$绕点 $A$旋转可以得到 $\odot O$的弦 $B\text{'}C\text{'}(B\text{'}$， $C\text{'}$分别是 $B$， $C$的对应点），则称线段 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $A$， $B_1$， $C_1$， $B_2$， $C_2$， $B_3$， $C_3$的横、纵坐标都是整数．在线段 $B_1{C}_1$， $B_2{C}_2$， $B_3{C}_3$中， $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”是 　 $B_2{C}_2$　；

（2） $\mathit{\Delta ABC}$是边长为1的等边三角形，点 $A(0,t)$，其中 $t\ne 0$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”，求 $t$的值；

（3）在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=1$， $\mathit{AC}=2$．若 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的以点 $A$为中心的“关联线段”，直接写出 $\mathit{OA}$的最小值和最大值，以及相应的 $\mathit{BC}$长．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E$， $\tan \angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒1个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止．过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)$秒．

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M$、 $A$、 $O$、 $P$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $\odot M$ 经过原点 $O$ ，分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A(2,0)$ ， $B(0,8)$ ，连结 $\mathit{AB}$ ．直线 $\mathit{CM}$ 分别交 $\odot M$ 于点 $D$ ， $E$ （点 $D$ 在左侧），交 $x$ 轴于点 $C(17,0)$ ，连结 $\mathit{AE}$ ．

（1）求 $\odot M$ 的半径和直线 $\mathit{CM}$ 的函数表达式；

（2）求点 $D$ ， $E$ 的坐标；

（3）点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上，连结 $\mathit{PE}$ ．当 $\angle \mathit{AEP}$ 与 $\mathit{\Delta OBD}$ 的一个内角相等时，求所有满足条件的 $\mathit{OP}$ 的长．

在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{73}$ ， $0)$ ，点 $B$ 在直线 $l:y=\frac{3}{8}x$ 上，过点 $B$ 作 $\mathit{AB}$ 的垂线，过原点 $O$ 作直线 $l$ 的垂线，两垂线相交于点 $C$ ．

（1）如图，点 $B$ ， $C$ 分别在第三、二象限内， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{AO}$ 相交于点 $D$ ．

①若 $\mathit{BA}=\mathit{BO}$ ，求证： $\mathit{CD}=\mathit{CO}$ ．

②若 $\angle \mathit{CBO}=45°$ ，求四边形 $\mathit{ABOC}$ 的面积．

（2）是否存在点 $B$ ，使得以 $A$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta BCO}$ 相似？若存在，求 $\mathit{OB}$ 的长；若不存在，请说明理由．

如图，在直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$ 的顶点 $O$ 在坐标原点，顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $B$ ， $D$ 两点坐标分别为 $B(-4,6)$ ， $D(0,4)$ ，线段 $\mathit{EF}$ 在边 $\mathit{OA}$ 上移动，保持 $\mathit{EF}=3$ ，当四边形 $\mathit{BDEF}$ 的周长最小时，点 $E$ 的坐标为 　　．

在直角坐标系中，过原点 $O$及点 $A(8,0)$， $C(0,6)$作矩形 $\mathit{OABC}$、连接 $\mathit{OB}$，点 $D$为 $\mathit{OB}$的中点，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，连接 $\mathit{DE}$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$，交 $\mathit{OA}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．已知点 $E$从 $A$点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $\mathit{AB}$上移动，设移动时间为 $t$秒．

（1）如图1，当 $t=3$时，求 $\mathit{DF}$的长．

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上移动的过程中， $\angle \mathit{DEF}$的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan \angle \mathit{DEF}$的值．

（3）连接 $\mathit{AD}$，当 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta DEF}$分成的两部分的面积之比为 $1:2$时，求相应的 $t$的值．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{AB}\perp y$ 轴，垂足为 B，将△ ABO绕点 A逆时针旋转到△ AB ₁ O ₁的位置，使点 B的对应点 B ₁落在直线 $y=-\frac{3}{4}$ x上，再将△ AB ₁ O ₁绕点 B ₁逆时针旋转到△ A ₁ B ₁ O ₂的位置，使点 O ₁的对应点 O ₂也落在直线 $y=-\frac{3}{4}$ x上，以此进行下去…若点 B的坐标为（0，3），则点 B ₂₁的纵坐标为 　　．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $D$ 在第二象限，其余顶点都在第一象限， $\mathit{AB}//x$ 轴， $\mathit{AO}\perp \mathit{AD}$ ， $\mathit{AO}=\mathit{AD}$ ．过点 $A$ 作 $\mathit{AE}\perp \mathit{CD}$ ，垂足为 $E$ ， $\mathit{DE}=4\mathit{CE}$ ．反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $E$ ，与边 $\mathit{AB}$ 交于点 $F$ ，连接 $\mathit{OE}$ ， $\mathit{OF}$ ， $\mathit{EF}$ ．若 $S_{\mathit{\Delta EOF}}=\frac{11}{8}$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{7}{3}$

B．

$\frac{21}{4}$

C．

7

D．

$\frac{21}{2}$

如图，△ $O{A}_1{B}_1$ ，△ $A_1{A}_2{B}_2$ ，△ $A_2{A}_3{B}_3$ ， $\dots$ ，△ $A_{n-1}{A}_n{B}_n$ 都是斜边在 $x$ 轴上的等腰直角三角形，点 $A_1$ ， $A_2$ ， $A_3$ ， $\dots$ ， $A_n$ 都在 $x$ 轴上，点 $B_1$ ， $B_2$ ， $B_3$ ， $\dots$ ， $B_n$ 都在反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象上，则点 $B_n$ 的坐标为 　　．（用含有正整数 $n$ 的式子表示）

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，对于 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点，若在 $y$ 轴上存在点 $T$ ，使得 $\angle \mathit{ATA}\text{'}=90°$ ，且 $\mathit{TA}=\mathit{TA}\text{'}$ ，则称 $A$ 、 $A\text{'}$ 两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点 $M(-2,0)$ 、 $N(-1,0)$ ，点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y=-2x+1$ 的图象上．

（1）①如图，在点 $B(2,0)$ 、 $C(0,-1)$ 、 $D(-2,-2)$ 中，点 $M$ 的关联点是 　 $B$ 　（填" $B$ "、" $C$ "或" $D$ " $)$ ；

②若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P\text{'}$ ，则点 $P\text{'}$ 的坐标是 　　；

（2）若在线段 $\mathit{MN}$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q\text{'}$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

（3）分别以点 $E(4,2)$ 、 $Q$ 为圆心，1为半径作 $\odot E$ 、 $\odot Q$ ．若对 $\odot E$ 上的任意一点 $G$ ，在 $\odot Q$ 上总存在点 $G\text{'}$ ，使得 $G$ 、 $G\text{'}$ 两点互相关联，请写出点 $Q$ 的坐标．

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=6$，点 $A$的坐标为 $(1,-4)$，点 $D$的坐标为 $(-3,4)$，点 $B$在第四象限，点 $P$是 $▱\mathit{ABCD}$边上的一个动点．

（1）若点 $P$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{PD}=\mathit{CD}$，求点 $P$的坐标．

（2）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，点 $P$关于坐标轴对称的点 $Q$落在直线 $y=x-1$上，求点 $P$的坐标．

（3）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，点 $G$是 $\mathit{AD}$与 $y$轴的交点，如图2，过点 $P$作 $y$轴的平行线 $\mathit{PM}$，过点 $G$作 $x$轴的平行线 $\mathit{GM}$，它们相交于点 $M$，将 $\mathit{\Delta PGM}$沿直线 $\mathit{PG}$翻折，当点 $M$的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$的坐标．（直接写出答案）

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$ 的四个顶点均在坐标轴上，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 交于原点 $O$ ， $\mathit{AE}\perp \mathit{BC}$ 于 $E$ 点，交 $\mathit{BD}$ 于 $M$ 点，反比例函数 $y=\frac{\sqrt{3}}{3x}(x>0)$ 的图象经过线段 $\mathit{DC}$ 的中点 $N$ ，若 $\mathit{BD}=4$ ，则 $\mathit{ME}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{ME}=\frac{5}{3}$

B．

$\mathit{ME}=\frac{4}{3}$

C．

$\mathit{ME}=1$

D．

$\mathit{ME}=\frac{2}{3}$

如图，一次函数 $y=x$ 与反比例函数 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 的图象交于点 $A$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp \mathit{OA}$ ，交 $x$ 轴于点 $B$ ；作 $B{A}_1//\mathit{OA}$ ，交反比例函数图象于点 $A_1$ ；过点 $A_1$ 作 $A_1{B}_1\perp A_{1}B$ 交 $x$ 轴于点 $B$ ；再作 $B_1{A}_2//B{A}_1$ ，交反比例函数图象于点 $A_2$ ，依次进行下去， $\dots$ ，则点 $A_{2021}$ 的横坐标为 　　．

如图，点 $B_1$ 在直线 $l:y=\frac{1}{2}x$ 上，点 $B_1$ 的横坐标为2，过点 $B_1$ 作 $B_1{A}_1\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $A_1$ ，以 $A_1{B}_1$ 为边，向右作正方形 $A_1{B}_1{B}_2{C}_1$ ，延长 $B_2{C}_1$ 交 $x$ 轴于点 $A_2$ ；以 $A_2{B}_2$ 为边，向右作正方形 $A_2{B}_2{B}_3{C}_2$ ，延长 $B_3{C}_2$ 交 $x$ 轴于点 $A_3$ ；以 $A_3{B}_3$ 为边，向右作正方形 $A_3{B}_3{B}_4{C}_3$ ，延长 $B_4{C}_3$ 交 $x$ 轴于点 $A_4$ ； $\dots$ ；照这个规律进行下去，则第 $n$ 个正方形 $A_n{B}_n{B}_{n+1}{C}_n$ 的边长为 　   

　          （结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）．