初中数学一次函数综合题试题

如图所示，在平面直角坐标系中，过点 A（ $-\sqrt{3},0$ ）的两条直线分别交 y轴于 B、 C两点，且 B、 C两点的纵坐标分别是一元二次方程 x ²﹣2 x﹣3＝0的两个根

（1）求线段 BC的长度；

（2）试问：直线 AC与直线 AB是否垂直？请说明理由；

（3）若点 D在直线 AC上，且 DB＝ DC，求点 D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线 BD上是否存在点 P，使以 A、 B、 P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出 P点的坐标；若不存在，请说明理由．

阅读下面材料：

我们知道一次函数 y＝ kx+ b（ k≠0， k、 b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 Ax+ By+ C＝0（ A≠0， A、 B、 C是常数）的形式，点 P（ x ₀， y ₀）到直线 Ax+ By+ C＝0的距离可用公式 d＝ $\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算．

例如：求点 P（3，4）到直线 y＝﹣2 x+5的距离．

解：∵ y＝﹣2 x+5

∴2 x+ y﹣5＝0，其中 A＝2， B＝1， C＝﹣5

∴点 P（3，4）到直线 y＝﹣2 x+5的距离为：

$d=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|2\times 3+1\times 4-5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

根据以上材料解答下列问题：

（1）求点 Q（﹣2，2）到直线3 x﹣ y+7＝0的距离；

（2）如图，直线 y＝﹣ x沿 y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．

如图，已知点，，点在直线 $y=-\frac{3}{4}x+4$上，则使是直角三角形的点的个数为　　

A．1B．2C．3D．4

如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝﹣ x+3与 x轴交于点 C，与直线 AD交于点 $A\left(\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)$ ，点 D的坐标为（0，1）

（1）求直线 AD的解析式；

（2）直线 AD与 x轴交于点 B，若点 E是直线 AD上一动点（不与点 B重合），当△ BOD与△ BCE相似时，求点 E的坐标．

如图，过直线 $l:y=\sqrt{3}x$ 上的点 $A_1$ 作 $A_1{B}_1\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $B_1$ ，过点 $B_1$ 作 $B_1{A}_2\perp x$ 轴．交直线 $l$ 于点 $A_2$ ；过点 $A_2$ 作 $A_2{B}_2\perp l$ ，交 $x$ 轴于点 $B_2$ ，过点 $B_2$ 作 $B_2{A}_3\perp x$ 轴，交直线 $l$ 于点 $A_3$ ； $\dots$ 按照此方法继续作下去，若 $O{B}_1=1$ ，则线段 $A_n{A}_{n-1}$ 的长度为 　　．（结果用含正整数 $n$ 的代数式表示）

如图，在平面直角坐标系中，半径为2的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为　　．

在平面直角坐标系中，已知，动点在的图象上运动（不与重合），连接．过点作，交轴于点，连接．

（1）求线段长度的取值范围；

（2）试问：点运动的过程中，是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当为等腰三角形时，求点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连结．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点的坐标和的长．

（2）设点为，当时，求点的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．

①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．

②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．

定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，那么称点是点，的融合点．

例如：，，当点满足，时，则点是点，的融合点．

（1）已知点，，，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．

（2）如图，点，点是直线上任意一点，点是点，的融合点．

①试确定与的关系式．

②若直线交轴于点．当为直角三角形时，求点的坐标．

函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数和的图象如图所示．

					0	1	2	3
					0

（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点，的坐标和函数的对称轴．

（2）探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离．

（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象．若点，和，在该函数图象上，且，比较，的大小．

如图，在平面直角坐标系中，直线过点且与轴交于点，把点向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点．过点且与平行的直线交轴于点．

（1）求直线的解析式；

（2）直线与交于点，将直线沿方向平移，平移到经过点的位置结束，求直线在平移过程中与轴交点的横坐标的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，，，连接，以为边向上作等边三角形．

（1）求点的坐标；

（2）求线段所在直线的解析式．

如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与，轴交于，两点，正比例函数的图象与交于点．

（1）求的值及的解析式；

（2）求的值；

（3）一次函数的图象为，且，，不能围成三角形，直接写出的值．

如图，直角坐标系中，，直线与轴交于点，直线与轴及直线分别交于点，，点，关于轴对称，连接．

（1）求点，的坐标及直线的解析式；

（2）设面积的和，求的值；

（3）在求（2）中时，嘉琪有个想法：“将沿轴翻折到的位置，而与四边形拼接后可看成，这样求便转化为直接求的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现，请通过计算解释他的想法错在哪里．