初中数学一次函数综合题解答题

阅读理解：

在平面直角坐标系中，点 $M$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $N$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $M$ 、 $N$ 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．如图1中的矩形为点 $M$ 、 $N$ 的"相关矩形"．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(2,0)$ ．

①若点 $B$ 的坐标为 $(4,4)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的"相关矩形"的周长为 　　；

②若点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，且点 $A$ 、 $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的解析式；

（2）已知点 $P$ 的坐标为 $(3,-4)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(6,-2)$ 若使函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象与点 $P$ 、 $Q$ 的"相关矩形"有两个公共点，直接写出 $k$ 的取值．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数 $y=-\frac{12}{x^2+2}$的图象并探究该函数的性质．

x	…	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	1	2	3	4	…
y	…	$-\frac{2}{3}$	a	﹣2	﹣4	b	﹣4	﹣2	$-\frac{12}{11}$	$-\frac{2}{3}$	…

（1）列表，写出表中 $a$， $b$的值： $a＝$　 ， $b＝$　　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数 $y=-\frac{12}{x^2+2}$的图象关于y轴对称；

②当 $x＝0$时，函数 $y=-\frac{12}{x^2+2}$有最小值，最小值为 $﹣6$；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

（3）已知函数 $y=-\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $-\frac{12}{x^2+2}<-\frac{2}{3}x-\frac{10}{3}$的解集．

在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y=\frac{6x}{x^2+1}$性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

$x$	$\dots$	$-5$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y=\frac{6x}{x^2+1}$	$\dots$	$-\frac{15}{13}$	$-\frac{24}{17}$		$-\frac{12}{5}$	$-3$	0	3	$\frac{12}{5}$		$\frac{24}{17}$	$\frac{15}{13}$	$\dots$

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“ $\surd$”，错误的在答题卡上相应的括号内打“ $\times$”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为 $y$轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 $x=1$时，函数取得最大值3；当 $x=-1$时，函数取得最小值 $-3$．

③当 $x<-1$或 $x>1$时， $y$随 $x$的增大而减小；当 $-1<x<1$时， $y$随 $x$的增大而增大．

（3）已知函数 $y=2x-1$的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $\frac{6x}{x^2+1}>2x-1$的解集（保留1位小数，误差不超过 $0.2)$．

如图，一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的图象与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A(-9,0)$， $B(0,6)$两点，过点 $C(2,0)$作直线 $l$与 $\mathit{BC}$垂直，点 $E$在直线 $l$位于 $x$轴上方的部分．

（1）求一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$的表达式；

（2）若 $\mathit{\Delta ACE}$的面积为11，求点 $E$的坐标；

（3）当 $\angle \mathit{CBE}=\angle \mathit{ABO}$时，点 $E$的坐标为　 $(11,3)$　．

【定义】如图1， $A$， $B$为直线 $l$同侧的两点，过点 $A$作直线 $l$的对称点 $A\text{'}$，连接 $A\text{'}B$交直线 $l$于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$，则称点 $P$为点 $A$， $B$关于直线 $l$的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(2,\sqrt{3})$， $B(-2,-\sqrt{3})$两点．

（1） $C(4,\frac{\sqrt{3}}{2})$， $D(4,\frac{\sqrt{2}}{2})$， $E(4,\frac{1}{2})$三点中，点　 $C$　是点 $A$， $B$关于直线 $x=4$的等角点；

（2）若直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $P(m,n)$是点 $A$， $B$关于直线 $l$的等角点，其中 $m>2$， $\angle \mathit{APB}=\alpha$，求证： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{n}{2}$；

（3）若点 $P$是点 $A$， $B$关于直线 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$的等角点，且点 $P$位于直线 $\mathit{AB}$的右下方，当 $\angle \mathit{APB}=60°$时，求 $b$的取值范围（直接写出结果）．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

如图1，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=6$，点 $A$的坐标为 $(1,-4)$，点 $D$的坐标为 $(-3,4)$，点 $B$在第四象限，点 $P$是 $▱\mathit{ABCD}$边上的一个动点．

（1）若点 $P$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{PD}=\mathit{CD}$，求点 $P$的坐标．

（2）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，点 $P$关于坐标轴对称的点 $Q$落在直线 $y=x-1$上，求点 $P$的坐标．

（3）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，点 $G$是 $\mathit{AD}$与 $y$轴的交点，如图2，过点 $P$作 $y$轴的平行线 $\mathit{PM}$，过点 $G$作 $x$轴的平行线 $\mathit{GM}$，它们相交于点 $M$，将 $\mathit{\Delta PGM}$沿直线 $\mathit{PG}$翻折，当点 $M$的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$的坐标．（直接写出答案）

【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ $\sqrt{\left(\right)}$”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘常数 $k$，再加上常数 $b$”的运算，有什么规律？

【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图 $a)$．

也可用图象描述：如图1，在 $x$轴上表示出 $x_1$，先在直线 $y=\mathit{kx}+b$上确定点 $(x_1$， $y_1)$，再在直线 $y=x$上确定纵坐标为 $y_1$的点 $(x_2$， $y_1)$，然后在 $x$轴上确定对应的数 $x_2$， $\dots$，以此类推．

【解决问题】研究输入实数 $x_1$时，随着运算次数 $n$的不断增加，运算结果 $x_n$，怎样变化．

（1）若 $k=2$， $b=-4$，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；

（2）若 $k>1$，又得到什么结论？请说明理由；

（3）①若 $k=-\frac{2}{3}$， $b=2$，已在 $x$轴上表示出 $x_1$（如图2所示），请在 $x$轴上表示 $x_2$， $x_3$， $x_4$，并写出研究结论；

②若输入实数 $x_1$时，运算结果 $x_n$互不相等，且越来越接近常数 $m$，直接写出 $k$的取值范围及 $m$的值（用含 $k$， $b$的代数式表示）

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点坐标分别为 $A(3,0)$， $B(0,4)$， $C(-3,0)$．动点 $M$， $N$同时从 $A$点出发， $M$沿 $A\to C$， $N$沿折线 $A\to B\to C$，均以每秒1个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 $C$时，另一个动点也随之停止移动，移动的时间记为 $t$秒．连接 $\mathit{MN}$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的解析式；

（2）移动过程中，将 $\mathit{\Delta AMN}$沿直线 $\mathit{MN}$翻折，点 $A$恰好落在 $\mathit{BC}$边上点 $D$处，求此时 $t$值及点 $D$的坐标；

（3）当点 $M$， $N$移动时，记 $\mathit{\Delta ABC}$在直线 $\mathit{MN}$右侧部分的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的函数关系式．

探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，可通过构造直角三角形利用图1得到结论： $P_1{P}_2=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}$他还利用图2证明了线段 $P_1{P}_2$的中点 $P(x,y)P$的坐标公式： $x=\frac{x_1+x_2}{2}$， $y=\frac{y_1+y_2}{2}$．

（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；

运用：（2）①已知点 $M(2,-1)$， $N(-3,5)$，则线段 $\mathit{MN}$长度为　　；

②直接写出以点 $A(2,2)$， $B(-2,0)$， $C(3,-1)$， $D$为顶点的平行四边形顶点 $D$的坐标：　　；

拓展：（3）如图3，点 $P(2,n)$在函数 $y=\frac{4}{3}x(x⩾0)$的图象 $\mathit{OL}$与 $x$轴正半轴夹角的平分线上，请在 $\mathit{OL}$、 $x$轴上分别找出点 $E$、 $F$，使 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，点 $A$在 $x$轴的负半轴上，直线 $y=-\sqrt{3}x+\frac{7}{2}\sqrt{3}$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$、 $C$两点，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形．

（1）如图1，求点 $A$的坐标；

（2）如图2，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$为 $\mathit{\Delta ACD}$内一点，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$，点 $E$在线段 $\mathit{AP}$上，点 $F$在线段 $\mathit{BP}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{EF}$，若 $\angle \mathit{AFE}=30°$，求 $A{F}^2+E{F}^2$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $\mathit{PE}=\mathit{AE}$时，求点 $P$的坐标．

阅读材料：

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， 点 $P(x_0$， $y_0)$到直线 $\mathit{Ax}+\mathit{By}+C=0$的距离公式为： $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$．

例如： 求点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离 ．

解： 由直线 $4x+3y-3=0$知， $A=4$， $B=3$， $C=-3$，

$\therefore$点 $P_0(0,0)$到直线 $4x+3y-3=0$的距离为 $d=\frac{|4\times 0+3\times 0-3|}{\sqrt{4^2+3^2}}=\frac{3}{5}$．

根据以上材料， 解决下列问题：

问题 1 ：点 $P_1(3,4)$到直线 $y=-\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$的距离为　　；

问题 2 ：已知： $\odot C$是以点 $C(2,1)$为圆心， 1 为半径的圆， $\odot C$与直线 $y=-\frac{3}{4}x+b$相切， 求实数 $b$的值；

问题 3 ：如图， 设点 $P$为问题 2 中 $\odot C$上的任意一点， 点 $A$， $B$为直线 $3x+4y+5=0$上的两点， 且 $\mathit{AB}=2$，请求出 $S_{\mathit{\Delta ABP}}$的最大值和最小值 ．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l:y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x+4$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $M$， $N$，高为3的等边三角形 $\mathit{ABC}$，边 $\mathit{BC}$在 $x$轴上，将此三角形沿着 $x$轴的正方向平移，在平移过程中，得到△ $A_1{B}_1{C}_1$，当点 $B_1$与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点 $A_1$的坐标，并判断点 $A_1$是否在直线 $l$上；

（2）求出边 $A_1{C}_1$所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点 $P$，使得以 $P$、 $A_1$、 $C_1$、 $M$为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$点坐标．

如图，一次函数 $y=\frac{3}{4}x+6$的图象交 $x$轴于点 $A$、交 $y$轴于点 $B$， $\angle \mathit{ABO}$的平分线交 $x$轴于点 $C$，过点 $C$作直线 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $D$，交 $y$轴于点 $E$．

（1）求直线 $\mathit{CE}$的解析式；

（2）在线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $P$（不与点 $A$， $B$重合），过点 $P$分别作 $\mathit{PM}\perp x$轴， $\mathit{PN}\perp y$轴，垂足为点 $M$、 $N$，是否存在点 $P$，使线段 $\mathit{MN}$的长最小？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．