初中数学二次函数的性质试题

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的部分图象，图象过点 $(3,0)$ ，对称轴为直线 $x=1$ ，有下列四个结论：① $\mathit{abc}>0$ ；② $a-b+c=0$ ；③ $y$ 的最大值为3；④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c+1=0$ 有实数根．其中正确的为 　　（将所有正确结论的序号都填入）．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{3}{2}x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知 $A$ ， $C$ 两点坐标分别是 $A(1,0)$ ， $C(0,-2)$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ．

（1）求抛物线的表达式和 $\mathit{AC}$ 所在直线的表达式；

（2）将 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿 $\mathit{BC}$ 所在直线折叠，得到 $\mathit{\Delta DBC}$ ，点 $A$ 的对应点 $D$ 是否落在抛物线的对称轴上，若点 $D$ 在对称轴上，请求出点 $D$ 的坐标；若点 $D$ 不在对称轴上，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接 $\mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{BP}$ ， $\mathit{\Delta BPQ}$ 的面积记为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ABQ}$ 的面积记为 $S_2$ ，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的值最大时点 $P$ 的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，过点 $A$ 的抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴的另一交点为 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D(0,3)$ ，抛物线的对称轴 $l$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$ ；

（3） $P$ 为抛物线上的一动点，直线 $\mathit{PO}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $M$ ，是否存在这样的点 $P$ ，使以 $A$ ， $O$ ， $M$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$ 相似？若存在，求点 $P$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的正半轴交于点 $A$ ，对称轴为直线 $x=1$ ．下面结论：

① $\mathit{abc}<0$ ；

② $2a+b=0$ ；

③ $3a+c>0$ ；

④方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$ 必有一个根大于 $-1$ 且小于0．

其中正确的是 　　．（只填序号）

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 交 $x$ 轴于 $A(-1,0)$ 、 $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}//\mathit{BP}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，求 $\mathit{\Delta PBQ}$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ 、 $P_2(x_2$ ， $y_2)$ ，则线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P_0$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2}$ ， $\frac{y_1+y_2}{2})$ ．

定义： $[a$， $b$， $c]$为二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的特征数，下面给出特征数为 $[m$， $1-m$， $2-m]$的二次函数的一些结论：①当 $m=1$时，函数图象的对称轴是 $y$轴；②当 $m=2$时，函数图象过原点；③当 $m>0$时，函数有最小值；④如果 $m<0$，当 $x>\frac{1}{2}$时， $y$随 $x$的增大而减小．其中所有正确结论的序号是 　　．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=x+2$ 与坐标轴交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $C$ 点的坐标为 $(1,0)$ ，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）根据图象写出不等式 $a{x}^2+(b-1)x+c>2$ 的解集；

（3）点 $P$ 是抛物线上的一动点，过点 $P$ 作直线 $\mathit{AB}$ 的垂线段，垂足为 $Q$ 点．当 $\mathit{PQ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，求 $P$ 点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$ 经过坐标原点，与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，点 $M(m,n)$ 是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$ ， $n>0$ ，且 $n=3m$ 时，

①求点 $M$ 的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$ ， $y)$ 在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$ ， $\mathit{BM}$ ， $C$ 是线段 $\mathit{BM}$ 上一动点（点 $C$ 与点 $M$ ， $B$ 不重合），过点 $C$ 作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$ ，交 $x$ 轴于点 $D$ ，线段 $\mathit{OD}$ 与 $\mathit{MC}$ 是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$ 轴于点 $K$ ，点 $E(x,\frac{7}{3})$ 在对称轴上，当 $m>2$ ， $n>0$ ，且直线 $\mathit{EM}$ 交 $x$ 轴的负半轴于点 $F$ 时，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$ 于点 $N$ ， $G$ 为 $y$ 轴上一点，点 $G$ 的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$ ，连接 $\mathit{GF}$ ．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$ ，求证：射线 $\mathit{FE}$ 平分 $\angle \mathit{AFG}$ ．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+4x$经过坐标原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，点 $M(m,n)$是抛物线上一动点．

（1）如图1，当 $m>0$， $n>0$，且 $n=3m$时，

①求点 $M$的坐标；

②若点 $B(\frac{15}{4}$， $y)$在该抛物线上，连接 $\mathit{OM}$， $\mathit{BM}$， $C$是线段 $\mathit{BM}$上一动点（点 $C$与点 $M$， $B$不重合），过点 $C$作 $\mathit{CD}//\mathit{MO}$，交 $x$轴于点 $D$，线段 $\mathit{OD}$与 $\mathit{MC}$是否相等？请说明理由；

（2）如图2，该抛物线的对称轴交 $x$轴于点 $K$，点 $E(x,\frac{7}{3})$在对称轴上，当 $m>2$， $n>0$，且直线 $\mathit{EM}$交 $x$轴的负半轴于点 $F$时，过点 $A$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{EM}$于点 $N$， $G$为 $y$轴上一点，点 $G$的坐标为 $(0,\frac{18}{5})$，连接 $\mathit{GF}$．若 $\mathit{EF}+\mathit{NF}=2\mathit{MF}$，求证：射线 $\mathit{FE}$平分 $\angle \mathit{AFG}$．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$ 交 $x$ 轴于 $A(3,0)$ ， $B(-1,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ，动点 $P$ 在抛物线的对称轴上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当以 $P$ ， $B$ ， $C$ 为顶点的三角形周长最小时，求点 $P$ 的坐标及 $\mathit{\Delta PBC}$ 的周长；

（3）若点 $Q$ 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．