初中数学三角形的角平分线、中线和高试题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$是边 $\mathit{BC}$的中点，连结 $\mathit{AD}$并延长到点 $E$，使 $\mathit{DE}=\mathit{AD}$，连结 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ECD}$；

（2）若 $\mathit{\Delta ABD}$的面积为5，求 $\mathit{\Delta ACE}$的面积．

按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．

（1）如图1， $A$为 $\odot O$上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出 $\odot O$的内接正方形；

（2）我们知道，三角形具有性质：三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高所在直线相交于一点．

请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图．

①如图2，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$为 $\mathit{CD}$的中点，作 $\mathit{BC}$的中点 $F$．

②如图3，在由小正方形组成的 $4\times 3$的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点都在小正方形的顶点上，作 $\mathit{\Delta ABC}$的高 $\mathit{AH}$．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}$， $\mathit{BE}$是两条中线，则 $S_{\mathit{\Delta EDC}}:S_{\mathit{\Delta ABC}}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BE}$交于点 $F$， $\mathit{BH}\perp \mathit{AB}$于点 $B$，点 $M$是 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{FM}$并延长交 $\mathit{BH}$于点 $H$．

（1）如图①所示，若 $\angle \mathit{ABC}=30°$，求证： $\mathit{DF}+\mathit{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}\mathit{BD}$；

（2）如图②所示，若 $\angle \mathit{ABC}=45°$，如图③所示，若 $\angle \mathit{ABC}=60°$（点 $M$与点 $D$重合），猜想线段 $\mathit{DF}$、 $\mathit{BH}$与 $\mathit{BD}$之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=36°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，则图中等腰三角形的个数是　　．

顶角为 $30°$的等腰三角形三条中线的交点是该三角形的 $($　　 $)$

A．重心B．外心C．内心D．中心

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}$与 $\angle \mathit{ACB}$的平分线相交于 $D$，若 $\angle A=50°$，则 $\angle \mathit{BDC}=$　      　度．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线相交于点 $O$，点 $M$， $N$分别是边 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$上的动点（不与点 $B$， $C$， $D$重合）， $\mathit{AM}$， $\mathit{AN}$分别交 $\mathit{BD}$于点 $E$， $F$，且 $\angle \mathit{MAN}$始终保持 $45°$不变．

（1）求证： $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AM}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；

（2）求证： $\mathit{AF}\perp \mathit{FM}$；

（3）请探索：在 $\angle \mathit{MAN}$的旋转过程中，当 $\angle \mathit{BAM}$等于多少度时， $\angle \mathit{FMN}=\angle \mathit{BAM}$？写出你的探索结论，并加以证明．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\angle B=30°$， $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{ACB}$交 $\odot O$于 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $D$，连接 $\mathit{AE}$，则 $S_{\mathit{\Delta ADE}}:S_{\mathit{\Delta CDB}}$的值等于 $($　　 $)$

A． $1:\sqrt{2}$B． $1:\sqrt{3}$C． $1:2$D． $2:3$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=46°$， $\angle C=74°$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$，那么 $\angle \mathit{BDC}$的度数是 $($　　 $)$

A． $76°$B． $81°$C． $92°$D． $104°$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=46°$， $\angle C=74°$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABC}$，交 $\mathit{AC}$于点 $D$，那么 $\angle \mathit{BDC}$的度数是 $($　　 $)$

A． $76°$B． $81°$C． $92°$D． $104°$

三角形的重心是 $\mathit{(}$　　 $\mathit{)}$

A．三角形三条边上中线的交点

B．三角形三条边上高线的交点

C．三角形三条边垂直平分线的交点

D．三角形三条内角平分线的交点

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中有四条线段 $\mathit{DE}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{FG}$，其中有一条线段是 $\mathit{\Delta ABC}$的中线，则该线段是 $($　　 $)$

A．线段 $\mathit{DE}$B．线段 $\mathit{BE}$C．线段 $\mathit{EF}$D．线段 $\mathit{FG}$

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的面积是12，点 $D$、 $E$、 $F$、 $G$分别是 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CE}$的中点，则 $\mathit{\Delta AFG}$的面积是 $($　　 $)$

A．4.5B．5C．5.5D．6

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=6$． $P$是底边 $\mathit{BC}$上的一个动点 $(P$与 $B$、 $C$不重合），以 $P$为圆心， $\mathit{PB}$为半径的 $\odot P$与射线 $\mathit{BA}$交于点 $D$，射线 $\mathit{PD}$交射线 $\mathit{CA}$于点 $E$．

（1）若点 $E$在线段 $\mathit{CA}$的延长线上，设 $\mathit{BP}=x$， $\mathit{AE}=y$，求 $y$关于 $x$的函数关系式，并写出 $x$的取值范围．

（2）当 $\mathit{BP}=2\sqrt{3}$时，试说明射线 $\mathit{CA}$与 $\odot P$是否相切．

（3）连接 $\mathit{PA}$，若 $S_{\mathit{\Delta APE}}=\frac{1}{8}{S}_{\mathit{\Delta ABC}}$，求 $\mathit{BP}$的长．