初中数学等腰三角形的判定与性质试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，以斜边 $\mathit{AB}$ 上的中线 $\mathit{CD}$ 为直径作 $\odot O$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $M$ ，与 $\mathit{AB}$ 的另一个交点为 $E$ ，过 $M$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，垂足为 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的直径为5， $\sin B=\frac{3}{5}$ ，求 $\mathit{ED}$ 的长．

匈牙利著名数学家爱尔特希．，曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点、、、、构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是　　．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图，为的直径，四边形内接于，对角线，交于点，的切线交的延长线于点，切点为，且．

（1）求证：；

（2）若，，求的值．

如图，中，点在边上，，，垂直于的延长线于点，，，则边的长为　 　．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\mathit{CD}$ 为斜边 $\mathit{AB}$ 的中线，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ 于点 $E$ ，延长 $\mathit{DE}$ 至点 $F$ ，使 $\mathit{EF}=\mathit{DE}$ ，连接 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{CF}$ ，点 $G$ 在线段 $\mathit{CF}$ 上，连接 $\mathit{EG}$ ，且 $\angle \mathit{CDE}+\angle \mathit{EGC}=180°$ ， $\mathit{FG}=2$ ， $\mathit{GC}=3$ ．下列结论：

① $\mathit{DE}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$ ；

②四边形 $\mathit{DBCF}$ 是平行四边形；

③ $\mathit{EF}=\mathit{EG}$ ；

④ $\mathit{BC}=2\sqrt{5}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上（点不与点，重合），且，，直接写出线段的长．

如图，在中，，点在线段上，且，，，则的长度为　   　．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交过点 $A$ 且平行于 $x$ 轴的直线于另一点 $B$ ，交 $x$ 轴于 $C$ ， $D$ 两点（点 $C$ 在点 $D$ 右边），对称轴为直线 $x=\frac{5}{2}$ ，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ ．若点 $B$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 的对称点恰好落在线段 $\mathit{OC}$ 上，下列结论中错误的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $B$ 坐标为 $(5,4)$	B．	$\mathit{AB}=\mathit{AD}$
C．	$a=-\frac{1}{6}$	D．	$\mathit{OC}·\mathit{OD}=16$

如图，在中，，为的中点，以为直径的分别交，于点，两点，过点作于点．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由．

（2）若，，求的长．

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点画线段，使，且．

（2）如图1，在边上画一点，使．

（3）如图2，过点画线段，使，且．

已知抛物线经过点和，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上点不与，重合），且，则能否为等腰三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由；

（3）若点在抛物线上，且，试确定满足条件的点的个数．

如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，连接．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）求证：．

如图，四边形 ABCD的对角线相交于点 O，且点 O是 BD的中点，若 AB＝ AD＝5， BD＝8，∠ ABD＝∠ CDB，则四边形 ABCD的面积为（　　）

A．

40

B．

24

C．

20

D．

15