初中数学矩形的性质试题

矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AD}=8$，点 $M$在对角线 $\mathit{AC}$上，且 $\mathit{AM}:\mathit{MC}=2:3$，过点 $M$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$．在 $\mathit{AC}$上取一点 $P$，使 $\angle \mathit{MEP}=\angle \mathit{EAC}$，则 $\mathit{AP}$的长为　　．

如图， $E$为矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$上一点，将矩形沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$恰好落在 $\mathit{ED}$上的点 $F$处，若 $\mathit{BE}=1$， $\mathit{BC}=3$，则 $\mathit{CD}$的长为 $($　　 $)$

A．6B．5C．4D．3

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对角线 $\mathit{AC}$翻折，使点 $B\text{'}$落在矩形 $\mathit{ABCD}$所在平面内， $B^{\text{'}}C$和 $\mathit{AD}$相交于点 $E$，连接 $B\text{'}D$．

解决问题

（1）在图1中，

① $B\text{'}D$和 $\mathit{AC}$的位置关系为　　；

②将 $\mathit{\Delta AEC}$剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(\mathit{AB}\ne \mathit{BC})$，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $\angle B=30°$， $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$，当△ $\mathit{AB}\text{'}D$恰好为直角三角形时， $\mathit{BC}$的长度为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\angle \mathit{DCA}=30°$，点 $F$是对角线 $\mathit{AC}$上的一个动点，连接 $\mathit{DF}$，以 $\mathit{DF}$为斜边作 $\angle \mathit{DFE}=30°$的直角三角形 $\mathit{DEF}$，使点 $E$和点 $A$位于 $\mathit{DF}$两侧，点 $F$从点 $A$到点 $C$的运动过程中，点 $E$的运动路径长是　　．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$折叠，折痕为 $\mathit{EF}$， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}C\text{'}$与 $\mathit{CD}$交于点 $M$，若 $\angle B\text{'}\mathit{MD}=50°$，则 $\angle \mathit{BEF}$的度数为　　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $B$在 $x$轴上，且关于 $y$轴对称，反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}(x>0)$的图象经过点 $C$，反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}(x<0)$的图象分别与 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$交于点 $E$， $F$，若 $S_{\mathit{\Delta BEF}}=7$， $k_1+3k_2=0$，则 $k_1$等于　　．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，将 $\mathit{\Delta CDP}$沿 $\mathit{DP}$折叠，点 $C$落在点 $E$处， $\mathit{PE}$、 $\mathit{DE}$分别交 $\mathit{AB}$于点 $O$、 $F$，且 $\mathit{OP}=\mathit{OF}$，则 $\cos \angle \mathit{ADF}$的值为 $($　　 $)$

A． $\frac{11}{13}$B． $\frac{13}{15}$C． $\frac{15}{17}$D． $\frac{17}{19}$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $P$从点 $A$出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到点 $A$，则点 $A$、 $P$、 $D$围成的图形面积 $y$与点 $P$运动路程 $x$之间形成的函数关系式的大致图象是 $($　　 $)$

A．B．

C．D．

如图，点 $O$是矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$的中点， $\mathit{OM}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AD}$于点 $M$，若 $\mathit{OM}=3$， $\mathit{BC}=10$，则 $\mathit{OB}$的长为 $($　　 $)$

A．5B．4C． $\frac{\sqrt{34}}{2}$D． $\sqrt{34}$

如图1，分别沿长方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 和正方形纸片 $\mathit{EFGH}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{EG}$ 剪开，拼成如图2所示的 $▱\mathit{KLMN}$ ，若中间空白部分四边形 $\mathit{OPQR}$ 恰好是正方形，且 $▱\mathit{KLMN}$ 的面积为50，则正方形 $\mathit{EFGH}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

24

B．

25

C．

26

D．

27

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$在 $\mathit{DC}$上，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{AE}$折叠，点 $D$恰好落在 $\mathit{BC}$边上的点 $F$处，那么 $\cos \angle \mathit{EFC}$的值是　         　．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{BC}>\mathit{AB}$ ， $\angle \mathit{BAD}$ 的平分线 $\mathit{AF}$ 与 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{BC}$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ ，点 $O$ 是 $\mathit{BD}$ 的中点，直线 $\mathit{OK}//\mathit{AF}$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $K$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $G$ ．

（1）求证：① $\mathit{\Delta DOK}\cong \mathit{\Delta BOG}$ ；② $\mathit{AB}+\mathit{AK}=\mathit{BG}$ ；

（2）若 $\mathit{KD}=\mathit{KG}$ ， $\mathit{BC}=4-\sqrt{2}$ ．

①求 $\mathit{KD}$ 的长度；

②如图2，点 $P$ 是线段 $\mathit{KD}$ 上的动点（不与点 $D$ 、 $K$ 重合）， $\mathit{PM}//\mathit{DG}$ 交 $\mathit{KG}$ 于点 $M$ ， $\mathit{PN}//\mathit{KG}$ 交 $\mathit{DG}$ 于点 $N$ ，设 $\mathit{PD}=m$ ，当 $S_{\mathit{\Delta PMN}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $m$ 的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在直线 $a$ 、 $b$ 上，且 $a//b$ ， $\angle 1=60°$ ，则 $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$30°$

B．

$45°$

C．

$60°$

D．

$75°$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=10$ ， $\mathit{CD}=6$ ， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 边上一点，沿 $\mathit{AE}$ 折叠 $\mathit{\Delta ADE}$ ，使点 $D$ 恰好落在 $\mathit{BC}$ 边上的 $F$ 处， $M$ 是 $\mathit{AF}$ 的中点，连接 $\mathit{BM}$ ，则 $\sin \angle \mathit{ABM}=$ 　         　．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的两边 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AB}$的长分别为3、8， $E$是 $\mathit{DC}$的中点，反比例函数 $y=\frac{m}{x}$的图象经过点 $E$，与 $\mathit{AB}$交于点 $F$．

（1）若点 $B$坐标为 $(-6,0)$，求 $m$的值及图象经过 $A$、 $E$两点的一次函数的表达式；

（2）若 $\mathit{AF}-\mathit{AE}=2$，求反比例函数的表达式．