初中数学矩形的性质试题

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$，点 $E$为 $\mathit{BC}$的中点，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{AE}$折叠，使点 $B$落在矩形内点 $F$处，连接 $\mathit{CF}$，则 $\mathit{CF}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{9}{5}$B． $\frac{12}{5}$C． $\frac{16}{5}$D． $\frac{18}{5}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=8$， $\mathit{BD}$的垂直平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$，则 $\mathit{\Delta BOF}$的面积为　         　．

已知：如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $O$．点 $P$从点 $A$出发，沿 $\mathit{AD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；同时，点 $Q$从点 $D$出发，沿 $\mathit{DC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接 $\mathit{PO}$并延长，交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $Q$作 $\mathit{QF}//\mathit{AC}$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{\Delta AOP}$是等腰三角形？

（2）设五边形 $\mathit{OECQF}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，试确定 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形}\mathit{OECQF}}:S_{\mathit{\Delta ACD}}=9:16$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $\mathit{OD}$平分 $\angle \mathit{COP}$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

问题提出：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1x5$或 $2\times 3$的矩形（ $\mathit{axb}$的矩形指边长分别为 $a$， $b$的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n=5$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形．

如图②，当 $n=6$时，可将正方形分割为六个 $2\times 3$的矩形．

如图③，当 $n=7$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图④，当 $n=8$时，可将正方形分割为八个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图⑤，当 $n=9$时，可将正方形分割为九个 $1\times 5$的矩形和六个 $2\times 3$的矩形

探究二：

当 $n=10$，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n=10$，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5\times 5$的正方形、一个 $(n-5)\times (n-5)$的正方形和两个 $5\times (n-5)$的矩形．显然， $5\times 5$的正方形和 $5\times (n-5)$的矩形均可分割为 $1\times 5$的矩形，而 $(n-5)\times (n-5)$的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

探究三：

当 $n=15$，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n=15$，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10\times 10$的正方形、一个 $(n-10)\times (n-10)$的正方形和两个 $10\times (n-10)$的矩形．显然， $10\times 10$的正方形和 $10\times (n-10)$的矩形均可分割为 $1x5$的矩形，而 $(n-10)\times (n-10)$的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

如图，将一矩形纸片 $\mathit{ABCD}$折叠，使两个顶点 $A$， $C$重合，折痕为 $\mathit{FG}$．若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，则 $\mathit{\Delta ABF}$的面积为　      　．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$折叠后，点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上的点 $A\text{'}$处，点 $B$落在点 $B\text{'}$处，若 $\angle 2=40°$，则图中 $\angle 1$的度数为 $($　　 $)$

A． $115°$B． $120°$C． $130°$D． $140°$

已知四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AE}$， $F$为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，下列结论：

（1） $\mathit{BF}\perp \mathit{DF}$；

（2） $S_{\mathit{\Delta BDG}}=S_{\mathit{\Delta ADF}}$；

（3） $E{F}^2=\mathit{FG}·\mathit{FD}$；

（4） $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}$

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

已知四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AE}$， $F$为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，下列结论：

（1） $\mathit{BF}\perp \mathit{DF}$；

（2） $S_{\mathit{\Delta BDG}}=S_{\mathit{\Delta ADF}}$；

（3） $E{F}^2=\mathit{FG}·\mathit{FD}$；

（4） $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}$

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，当 $▱\mathit{ABCD}$的面积最大时，下列结论正确的有 $($　　 $)$

① $\mathit{AC}=5$；② $\angle A+\angle C=180°$；③ $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$；④ $\mathit{AC}=\mathit{BD}$．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

如图，折叠矩形 $\mathit{ABCD}$的一边 $\mathit{AD}$，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边的点 $F$处，已知折痕 $\mathit{AE}=5\sqrt{5}\mathit{cm}$，且 $\tan \angle \mathit{EFC}=\frac{3}{4}$，那么矩形 $\mathit{ABCD}$的周长为　    　 $\mathit{cm}$．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$边的中点， $\mathit{BE}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{DF}$，分析下列四个结论：

① $\mathit{\Delta AEF}\backsim \mathit{\Delta CAB}$；② $\mathit{CF}=2\mathit{AF}$；③ $\mathit{DF}=\mathit{DC}$；④ $\tan \angle \mathit{CAD}=\sqrt{2}$．

其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个

在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2\mathit{AB}=4$， $E$是 $\mathit{AD}$的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点 $E$重合，将三角板绕点 $E$旋转，三角板的两直角边分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$（或它们的延长线）于点 $M$， $N$，设 $\angle \mathit{AEM}=\alpha (0°<\alpha <90°)$，给出下列四个结论：

① $\mathit{AM}=\mathit{CN}$；

② $\angle \mathit{AME}=\angle \mathit{BNE}$；

③ $\mathit{BN}-\mathit{AM}=2$；

④ $S_{\mathit{\Delta EMN}}=\frac{2}{\mathit{co}{s}^2\alpha }$．

上述结论中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图， 矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\mathit{=}\sqrt{\mathit{3}}$， $\mathit{BC}\mathit{=}\sqrt{\mathit{6}}$，点 $\mathit{E}$在对角线 $\mathit{BD}$上， 且 $\mathit{BE}\mathit{=}\mathit{1}\mathit{.}\mathit{8}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{DC}$于点 $\mathit{F}$，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CD}}\mathit{=}$　      　．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$中， $A(1,0)$， $C(0,2)$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(0<k<2)$的图象分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CB}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$， $\mathit{EF}$， $S_{\mathit{\Delta OEF}}=2S_{\mathit{\Delta BEF}}$，则 $k$值为 $($　　 $)$

A． $\frac{2}{3}$B．1C． $\frac{4}{3}$D． $\sqrt{2}$

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $C$落在 $\mathit{AD}$边的中点 $C\text{'}$处，点 $B$落在点 $B\text{'}$处，其中 $\mathit{AB}=9$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{FC}\text{'}$的长为 $($　　 $)$

A． $\frac{10}{3}$B．4C．4.5D．5