初中数学矩形的性质试题

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，将 $\angle \mathit{ABC}$绕点 $A$按逆时针方向旋转一定角度后， $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$交 $\mathit{CD}$边于点 $G$．连接 $B{B}^{\text{'}}$、 $C{C}^{\text{'}}$．若 $\mathit{AD}=7$， $\mathit{CG}=4$， $A{B}^{\text{'}}=B^{\text{'}}G$，则 $\frac{C{C}^{\text{'}}}{B{B}^{\text{'}}}=$　     　（结果保留根号）．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{PQ}$垂直平分 $\mathit{BE}$，分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BE}$、 $\mathit{BC}$于点 $P$、 $O$、 $Q$，连接 $\mathit{BP}$、 $\mathit{EQ}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{BPEQ}$是菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $F$为 $\mathit{AB}$的中点， $\mathit{OF}+\mathit{OB}=9$，求 $\mathit{PQ}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{BC}=5$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$各边上，且 $\mathit{AE}=\mathit{CG}$， $\mathit{BF}=\mathit{DH}$，则四边形 $\mathit{EFGH}$周长的最小值为 $($　　 $)$

A． $5\sqrt{5}$B． $10\sqrt{5}$C． $10\sqrt{3}$D． $15\sqrt{3}$

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．

问题呈现：

如图1，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$上， $\mathit{AE}=\mathit{DG}$，求证： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．（ $S$表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $\mathit{AH}\ne \mathit{BF}$，点 $G$在 $\mathit{CD}$上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$、 $G$作 $\mathit{BC}$边的平行线，再分别过点 $F$、 $H$作 $\mathit{AB}$边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$、 $D_1$，得到矩形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$．

如图2，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $C$靠近 $(\mathit{DG}>\mathit{AE})$，经过探索，发现： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}+S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$．

如图3，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $D$靠近 $(\mathit{DG}<\mathit{AE})$，请探索 $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}$、 $S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$与 $S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是面积为25的正方形 $\mathit{ABCD}$各边上的点，已知 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$， $\mathit{AE}>\mathit{DG}$， $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=11$， $\mathit{HF}=\sqrt{29}$，求 $\mathit{EG}$的长．

（2）如图5，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$、 $H$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}=1$， $\mathit{DH}=2$，点 $F$、 $G$分别是边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上的动点，且 $\mathit{FG}=\sqrt{10}$，连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{HG}$，请直接写出四边形 $\mathit{EFGH}$面积的最大值．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．6C．4D．5

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $D$分别落在 $x$轴、 $y$轴上， $\mathit{OD}=2\mathit{OA}=6$， $\mathit{AD}:\mathit{AB}=3:1$，则点 $C$的坐标是 $($　　 $)$

A． $(2,7)$B． $(3,7)$C． $(3,8)$D． $(4,8)$

如图， $\mathit{AC}$为矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线， 将边 $\mathit{AB}$沿 $\mathit{AE}$折叠， 使点 $B$落在 $\mathit{AC}$上的点 $M$处， 将边 $\mathit{CD}$沿 $\mathit{CF}$折叠， 使点 $D$落在 $\mathit{AC}$上的点 $N$处 ．

（1） 求证： 四边形 $\mathit{AECF}$是平行四边形；

（2） 若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=10$，求四边形 $\mathit{AECF}$的面积 ．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=6$．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 $($　　 $)$

A．6B．3C．2.5D．2

下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是 $($　　 $)$

A．对角线相等B．对角线互相平分

C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，点 $P$是直线 $\mathit{AD}$上一动点，若满足 $\mathit{\Delta PBC}$是等腰三角形的点 $P$有且只有3个，则 $\mathit{AB}$的长为　      　．

如图，把正方形纸片 $\mathit{ABCD}$沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为 $\mathit{MN}$，再过点 $B$折叠纸片，使点 $A$落在 $\mathit{MN}$上的点 $F$处，折痕为 $\mathit{BE}$．若 $\mathit{AB}$的长为2，则 $\mathit{FM}$的长为 $($　　 $)$

A．2B． $\sqrt{3}$C． $\sqrt{2}$D．1