初中数学矩形的性质试题

如图，是矩形的对称中心，，，若一个反比例函数的图象经过点，交于点，则点的坐标为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=6$ ，若点 $E$ ， $F$ 分别在 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{CD}$ 上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{AE}$ ， $\mathit{DF}=2\mathit{FC}$ ， $G$ ， $H$ 分别是 $\mathit{AC}$ 的三等分点，则四边形 $\mathit{EHFG}$ 的面积为 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\frac{3}{2}$

C．

2

D．

4

问题提出

（1）如图①，已知直线及外一点，试在直线上确定、两点，使，并画出这个．

问题探究

（2）如图②，是边长为28的正方形的对称中心，是边上的中点，连接．试在正方形的边上确定点，使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分．求点到点的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园，，．根据设计要求，点、在对角线上，且，并在四边形区域内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：，

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，过矩形的对称中心 $O$ 的直线 $\mathit{EF}$ ，分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ 、 $F$ ，且 $\mathit{FC}=2$ ．若 $H$ 为 $\mathit{OE}$ 的中点，连接 $\mathit{BH}$ 并延长，与 $\mathit{AD}$ 交于点 $G$ ，则 $\mathit{BG}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

8

B．

$\sqrt{61}$

C．

$3\sqrt{5}$

D．

$2\sqrt{13}$

如图，在矩形 $\mathit{AOBC}$ 中， $A(-2,0)$ ， $B(0,1)$ ．若正比例函数 $y=\mathit{kx}$ 的图象经过点 $C$ ，则 $k$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-\frac{1}{2}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$-2$

D．

2

如图，在中，，是的外接圆，点在上，且，过点作的垂线，与的延长线相交于点，并与的延长线相交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径，，求的长．

如图，在矩形中，，，连接，是的中点，是上一点，且，是上一动点，则的最大值为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ．若点 $E$ 是边 $\mathit{CD}$ 的中点，连接 $\mathit{AE}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{AE}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，则 $\mathit{BF}$ 的长为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{3\sqrt{10}}{2}$

B．

$\frac{3\sqrt{10}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{10}}{5}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{5}$

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，点 $P$ 是 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$ 上一点，连接 $\mathit{PB}$ 、 $\mathit{PC}$ ．若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$ ，则 $\sin \angle \mathit{BPC}$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{\sqrt{5}}{5}$

B．

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

C．

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D．

$\frac{3\sqrt{5}}{10}$

问题提出

（1）如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，请画出 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AF}=2$ ，是否在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $\mathit{EFGH}$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=3$ 米， $\mathit{AD}=6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件，使 $\angle \mathit{EFG}=90°$ ， $\mathit{EF}=\mathit{FG}=\sqrt{5}$ 米， $\angle \mathit{EHG}=45°$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AF}<\mathit{BF}$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

已知点，，，连接，得到矩形，点的边上，将边沿折叠，点的对应点为．若点到矩形较长两对边的距离之比为，则点的坐标为　　．

如图，在矩形中，，，点在边上，且．连接，将沿折叠，若点的对应点落在矩形的边上，则的值为　　．

如图，在矩形中，点为的中点，点为射线上一动点，△与关于所在直线对称，连接，分别交、于点、，，．若与相似，则的长为　　．

如图，在矩形中，，，以点为圆心，的长为半径作交于点；以点为圆心，的长为半径作交于点，则图中阴影部分的面积为　　．