初中数学矩形的性质试题

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的边 $\mathit{AB}=1$ ， $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ，交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，若点 $E$ 是 $\mathit{AD}$ 的中点，以点 $B$ 为圆心， $\mathit{BE}$ 长为半径画弧，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，则图中阴影部分的面积是 $($ 　　 $)$

A．

$2-\frac{\pi }{4}$

B．

$\frac{3}{2}-\frac{\pi }{4}$

C．

$2-\frac{\pi }{8}$

D．

$\frac{3}{2}-\frac{\pi }{8}$

如图：在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：；

（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到△，的延长线交边于点，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接，分别交，于点，．若，求的值．

如图，把一张长为4，宽为2的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AD}=3$ ，动点 $P$ 满足 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$ ，则点 $P$ 到 $A$ 、 $B$ 两点距离之和 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

$2\sqrt{13}$

B．

$2\sqrt{10}$

C．

$3\sqrt{5}$

D．

$\sqrt{41}$

如图，矩形 $\mathit{OABC}$ 的边 $\mathit{OA}$ 在 $x$ 轴上， $\mathit{OA}=8$ ， $\mathit{OC}=4$ ，把 $\mathit{\Delta ABC}$ 沿直线 $\mathit{AC}$ 折叠，得到 $\mathit{\Delta ADC}$ ， $\mathit{CD}$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，则点 $E$ 的坐标是 $($ 　　 $)$

A．

$(4,0)$

B．

$(3,0)$

C．

$(0,3)$

D．

$(5,0)$

在平面直角坐标系中，为原点，点，点在轴的正半轴上，．矩形的顶点，，分别在，，上，．

（Ⅰ）如图①，求点的坐标；

（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．

①如图②，当矩形与重叠部分为五边形时，，分别与相交于点，，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；

②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．

在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点，，的对应点分别为，，．

（Ⅰ）如图①，当点落在边上时，求点的坐标；

（Ⅱ）如图②，当点落在线段上时，与交于点．

①求证；

②求点的坐标．

（Ⅲ）记为矩形对角线的交点，为的面积，求的取值范围（直接写出结果即可）．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿对角线 $\mathit{AC}$ 折叠，点 $B$ 的对应点为 $B\text{'}$ ， $\mathit{AB}\text{'}$ 与 $\mathit{DC}$ 相交于点 $E$ ，则下列结论一定正确的是 $($ 　　 $)$

A．

$\angle \mathit{DAB}\text{'}=\angle \mathit{CAB}\text{'}$

B．

$\angle \mathit{ACD}=\angle B\text{'}\mathit{CD}$

C．

$\mathit{AD}=\mathit{AE}$

D．

$\mathit{AE}=\mathit{CE}$

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：

证明：，．

，．

四边形是矩形，．

．（依据

，．．

即是的边上的中线，

又，．（依据

垂直平分．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

综合与实践

背景阅读 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为，4，型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是，4，型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作 如图1，在矩形纸片中，，．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点与点重合，折痕为，然后展平，隐去．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到△，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形是正方形．

（2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明，4，型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是，4，型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

如图，将矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ 沿 $\mathit{BD}$ 折叠，得到△ $\mathit{BC}\text{'}D$ ， $C\text{'}D$ 与 $\mathit{AB}$ 交于点 $E$ ．若 $\angle 1=35°$ ，则 $\angle 2$ 的度数为 $($ 　　 $)$

A．

$20°$

B．

$30°$

C．

$35°$

D．

$55°$

下列命题中，假命题是 $($ 　　 $)$

A．	矩形的对角线相等
B．	矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C．	矩形的对角线互相平分
D．	矩形对角线交点到四条边的距离相等

已知任一平面封闭图形，现在其外部存在一水平放置的矩形，使得矩形每条边都与该图形有至少一个交点，且构成该图形的所有点都在矩形内部或矩形边上，那么就称这个矩形为“该图形的矩形”，且这个矩形的水平长成为该图形的宽，铅直高称为该图形的高．如图，边长为1的菱形的一条边水平放置，已知“该菱形的矩形”的“高”是“宽”的，则该“菱形的矩形”的“宽”为　　．

如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转，点、分别落在点、处．如果点、、在同一条直线上，那么的值为　　．