高中数学试题

设 $x\in R$ ，解不等式 $\text{|}x\text{|+|2}x-\text{1|>2}$ .   

在极坐标系中，已知两点 $A(3,\frac{\pi }{4}),B(\sqrt{2},\frac{\pi }{2})$ ，直线l的方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=3$ .

（1）求 A， B两点间的距离；    

（2）求点 B到直线 l的距离.    

已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 2\end{array}\right]$

（1）求 A ²；    

（2）求矩阵 A的特征值.   

定义首项为1且公比为正数的等比数列为"M－数列".   

（1）已知等比数列{ a _n} $(n\in N^{*})$ 满足： $a_2{a}_4=a_5,a_3-4a_2+4a_4=0$ ，求证:数列{ a _n}为"M－数列"；    

（2）已知数列{ b _n}满足: $b_1=1,\frac{1}{S_n}=\frac{2}{b_n}-\frac{2}{b_{n+1}}$ ，其中 S _n为数列{ b _n}的前 n项和．

①求数列{ b _n}的通项公式；

②设 m为正整数，若存在"M－数列"{ c _n} $(n\in N^{*})$ ，对任意正整数 k ，当 k≤ m时，都有 $c_k⩽b_k⩽c_{k+1}$ 成立，求 m的最大值．

设函数 $f\left(x\right)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c\in \text{R}$ 、 $f\text{'}\left(x\right)$ 为f（x）的导函数．   

（1）若 a= b= c ， f（4）=8，求 a的值；    

（2）若 a≠ b ， b= c ， 且 f（ x）和 $f\text{'}\left(x\right)$ 的零点均在集合 $\text{{}-3,1,3\text{}}$ 中，求 f（ x）的极小值；    

（3）若 $a=0,0<b⩽1,c=1$ ，且 f（ x）的极大值为 M，求证: M≤ $\frac{4}{27}$ ．

如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q ，并修建两段直线型道路PB、QA ．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；   

（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；   

（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点为F ₁（-1、0），F ₂（1，0）．过F ₂作x轴的垂线l ，在x轴的上方，l与圆F ₂: ${(x-1)}^2+y^2=4a^2$ 交于点A ，与椭圆C交于点D.连结AF ₁并延长交圆F ₂于点B ，连结BF ₂交椭圆C于点E ，连结DF ₁．已知DF ₁= $\frac{5}{2}$ ．

（1）求椭圆 C的标准方程；    

（2）求点 E的坐标．    

如图，在直三棱柱ABC－A ₁B ₁C ₁中，D ， E分别为BC ， AC的中点，AB=BC ．  

求证：

（1） A ₁ B ₁∥平面 DEC ₁；    

（2） BE⊥ C ₁ E．    

在△ABC中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c

（1）若 a=3 c ， b= $\sqrt{2}$ ，cos B= $\frac{2}{3}$ ，求 c的值；

（2）若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{2b}$ ，求 $\sin (B+\frac{\pi }{2})$ 的值．

设 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 是定义在R上的两个周期函数， $f\left(x\right)$ 的周期为4， $g\left(x\right)$ 的周期为2，且 $f\left(x\right)$ 是奇函数.当 $x\in (0,2]$ 时， $f\left(x\right)=\sqrt{1-{(x-1)}^2}$ ， $g\left(x\right)=\{\begin{array}{c}k(x+2),0<x\le 1\\ -\frac{1}{2},1<x\le 2\end{array}$ ，其中k>0.若在区间(0，9]上，关于x的方程 $f\left(x\right)=g\left(x\right)$ 有8个不同的实数根，则k的取值范围是________.

已知 $\frac{\tan \alpha }{\tan (\alpha +\frac{\text{π}}{4})}=-\frac{2}{3}$ ，则 $\sin (2\alpha +\frac{\text{π}}{4})$ 的值是________.   

如图，在 $△\mathit{ABC}$ 中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA ， AD与CE交于点 $O$ .若 $\overrightarrow{\mathit{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AC}}=6\overrightarrow{\mathit{AO}}\cdot \overrightarrow{\mathit{EC}}$ ，则 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AC}}$ 的值是________.

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是________.   

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，P是曲线 $y=x+\frac{4}{x}(x>0)$ 上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.

如图，长方体 $\mathit{ABCD}-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的体积是120，E为 $C{C}_1$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.