高中数学试题

下列函数中，在区间 $\left(0，+\infty \right)$ 上单调递增的是（   ）

A．

$y=x^{\frac{1}{2}}$

B．

$y=2^{-x}$

C．

$y=\text{lo}{\text{g}}_{\frac{1}{2}}x$

D．

$y=\frac{1}{x}$

已知复数 $z=2+i$ ，则 $z\cdot \bar{z}=$ （ ）

A．

$\sqrt{3}$

B．

$\sqrt{5}$

C．

3

D．

5

已知集合 $A=\left\{x\right|–1<x<2\}$ ， $B=\left\{x\right|x>1\}$ ，则 $A\cup B=$ （ ）

A．

$\left(–1，1\right)$

B．

$\left(1，2\right)$

C．

$\left(–1，+\infty \right)$

D．

$\left(1，+\infty \right)$

已知函数 $f（x）=x^2+2\mathit{cosx}$ ， $g（x）=e^x（\mathit{cosx}﹣\mathit{sinx}+2x﹣2）$ ，其中 $e\approx 2.17828\dots$ 是自然对数的底数．

（Ⅰ）求曲线 $y=f（x）$ 在点 $\left(\pi ，f\left(\pi \right)\right)$ 处的切线方程；

（Ⅱ）令 $h\left(x\right)=g\left(x\right)\mathit{-}\mathit{a\; f}\left(x\right)\left(a\in R\right)$ ，讨论 $h\left(x\right)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

已知 $\left\{x_n\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，且 $x_1+x_2=3$ ， $x_3﹣x_2=2$ ．

（Ⅰ）求数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，依次连接点 $P_1（x_1\mathit{ }，1）$ ， $P_2（x_2\mathit{ }，2）\dots P_{n+1}（x_{n+1}\mathit{ }，\mathit{n}+1）$ 得到折线 $P1\mathit{P}2\dots P_{n+1}\mathit{ }$ ， 求由该折线与直线 $y=0$ ， $x=x_1\mathit{ }$ ， $\mathit{x}=x_{n+1}$ 所围成的区域的面积 $T_n$ ．

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A ₁ ， A ₂ ， A ₃ ， A ₄ ， A ₅ ， A ₆和4名女志愿者B ₁ ， B ₂ ， B ₃ ， B ₄ ， 从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

（Ⅰ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A ₁但不包含B ₁的概率．

（Ⅱ）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX．

如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是 $\stackrel{̂}{\mathit{DF}}$ 的中点．

（Ⅰ）设P是 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}$ 上的一点，且 $\mathit{AP}\perp \mathit{BE}$ ，求 $\angle \mathit{CBP}$ 的大小；

（Ⅱ）当 $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=2$ 时，求二面角 $E﹣\mathit{AG}﹣C$ 的大小．

设函数 $f（x）=\mathit{sin}\left(\omega x﹣\frac{\pi }{6}\right)+\mathit{sin}\left(\omega x﹣\frac{\pi }{2}\right)$ ，其中 $0＜\omega ＜3$ ，已知 $f（\frac{\pi }{6}）=0$ ．

（Ⅰ）求 $\omega$ ；

（Ⅱ）将函数 $y=f\left(x\right)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，得到函数 $y=g\left(x\right)$ 的图象，求 $g\left(x\right)$ 在 $\left[﹣\frac{\pi }{4}，\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的最小值．

若函数 $e^{x}f\left(x\right)$ （ $e\approx 2.71828$ …是自然对数的底数）在 $f\left(x\right)$ 的定义域上单调递增，则称函数 $f\left(x\right)$ 具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为________．

① $f（x）=2^{-x}$

② $f（x）=3^{-x}$

③ $f（x）=x^3$

④ $f（x）=x^2+2$ ．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$ 的右支与焦点为F的抛物线 $x^2=2\mathit{py}\left(p＞0\right)$ 交于A，B两点，若 $\left|\mathit{AF}\right|+\left|\mathit{BF}\right|=4\left|\mathit{OF}\right|$ ，则该双曲线的渐近线方程为________．

由一个长方体和两个 $\frac{1}{4}$ 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．

已知 $\overrightarrow{e_1}$ ， $\overrightarrow{e_2}$ 是互相垂直的单位向量，若 $\sqrt{3}\overrightarrow{e_1}﹣\overrightarrow{e_2}$ 与 $\overrightarrow{e_1}+\lambda \overrightarrow{e_2}$ 的夹角为60°，则实数λ的值是________．

已知 ${（1+3x）}^n$的展开式中含有 $x^2$的系数是54，则n=________．

已知当 $x\in \left[0，1\right]$ 时，函数 $y={（\mathit{mx}﹣1）}^2$ 的图象与 $y=\sqrt{x}+m$ 的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）

A．	$（0，1]\cup [2\sqrt{3}，+\infty ）$	B．	$\left(0，1]\cup [3，+\infty \right)$
C．	$\left(0，\sqrt{2}）\cup [2\sqrt{3}，+\infty \right)$	D．	$\left(0，\sqrt{2}]\cup [3，+\infty \right)$

在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足 $\mathit{sinB}（1+2\mathit{cosC}）=2\mathit{sinAcosC}+\mathit{cosAsinC}$ ，则下列等式成立的是（　　）

A．

$\mathit{ a}=2b$

B．

$b=2a$

C．

$A=2B$

D．

$B=2A$