高中数学试题

我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题："远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（  ）

A．1盏               B．3盏             C．5盏                 D．9盏

设集合 ${\rm A}=\left\{1,2,4\right\}$ ， ${\rm B}=\left\{x\left|x^2-4x+m=0\right.\right\}$ ．若 ${\rm A}\cap {\rm B}=\left\{1\right\}$ ，则 ${\rm B}=$ （  ）

A． $\left\{1,-3\right\}$              B． $\left\{1,0\right\}$               C． $\left\{1,3\right\}$            D． $\left\{1,5\right\}$

$\frac{3+i}{1+i}=$ (   )

A． $1+2i$           B． $1-2i$            C． $2+i$                 D． $2-i$

已知集合 $A=\left\{x\right|x<1\}$， $B=\left\{x\right|3^x<1$}，则（ ）

A． $A\cap B=\left\{x\right|x<0\}$B． $A\cup B=R$

C． $A\cup B=\left\{x\right|x>1\}$D． $A\cap B=\varnothing$

设a， $b\in R$ ， $\left|a\right|\le 1$ ．已知函数 $f（x）=x^3﹣6x^2﹣3a（a﹣4）x+b$ ， $g（x）=e^{x}f（x）$ ．

（Ⅰ）求 $f（x）$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知函数 $y=g（x）$ 和 $y=e^x$ 的图象在公共点 $（x_0\mathit{ }，{\mathit{y}}_0）$ 处有相同的切线，

（i）求证： $f（x\mathit{）在}x=x_0$ 处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式 $g（x）\le e^x$ 在区间 $[x_0﹣1，x_0+1]$ 上恒成立，求b的取值范围．

已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_n（n\in N^{*}）$ ， $\left\{b_n\right\}$ 是首项为2的等比数列，且公比大于0， $b_2+b_3=12$ ， $b_3=a_4﹣2a_1\mathit{ }$ ， $S_{11}=11b_4$ ．

（Ⅰ）求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）求数列 $\left\{a_{2n}{b}_{2n-1}\right\}$ 的前n项和 $（n\in N^{*}）$ ．

如图，在四棱锥 $P﹣\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}\perp$ 平面 $\mathit{PDC}$ ， $\mathit{AD}\parallel \mathit{BC}$ ， $\mathit{PD}\perp \mathit{PB}$ ， $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{PD}=2$ ．

（I）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；

（II）求证： $\mathit{PD}\perp \mathrm{平面}PBC$；

（II）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

	连续剧播放时长（分钟）	广告播放时长（分钟）	收视人次（万）
甲	70	5	60
乙	60	5	25

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

（I）用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？

在 $△\mathit{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $\mathit{asinA}=4\mathit{bsinB}$ ， $\mathit{ac}=\sqrt{5}$ $（a^2﹣b^2﹣c^2）$ ．

（Ⅰ）求 $\mathit{cosA}$ 的值；

（Ⅱ）求 $\mathit{sin}（2B﹣A）$ 的值．

在 $△\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=60°$ ， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AC}=2$ ．若 $\overrightarrow{\mathit{BD}}=2\overrightarrow{\mathit{DC}}$ ， $\overrightarrow{\mathit{AE}}=\mathit{\lambda }\overrightarrow{\mathit{AC}}﹣\overrightarrow{\mathit{AB}}（\lambda \in R）$ ，且 $\overrightarrow{\mathit{AD}}\cdot \overrightarrow{\mathit{AE}}=﹣4$ ，则 $\lambda$ 的值为________．

若a， $b\in R$ ， $\mathit{ab}＞0$ ，则 $\frac{a^4+4b^4+1}{\mathit{ab}}$ 的最小值为________．

设抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为F，准线为l．已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若 $\angle \mathit{FAC}=120°$ ，则圆的方程为________．

已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．   

已知 $a\in R$ ，设函数 $f（x）=\mathit{ax}﹣\mathit{lnx}$ 的图象在点 $（1，f（1\mathit{））}$ 处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．

已知 $a\in R$ ， $i$ 为虚数单位，若 $\frac{a-i}{2+i}$ 为实数，则a的值为________．