高中数学试题

已知函数 $f（x）=\left\{\begin{array}{c}\left|x\right|+2，x<1\\ x+\frac{2}{x}，x\ge 1\end{array}\right.$ ，设 $a\in R$ ，若关于 $x$ 的不等式 $f（x）\ge |\frac{x}{2}+a|$ 在 $R$ 上恒成立，则a的取值范围是（　　）

A. [﹣2，2] B. $[-2\sqrt{3}，2]$ C. $[-2，2\sqrt{3}]$ D. $[-2\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$

设函数 $f（x）=2\mathit{sin}（\mathit{\omega x}+\phi ）$ ， $x\in R$ ，其中 $\omega ＞0$ ， $\left|\phi \right|＜\pi$ ．若 $f（\frac{5\pi }{8}）=2$ ， $f（\frac{11\pi }{8}）=0$ ，且 $f（x）$ 的最小正周期大于 $2\pi$ ，则（　　）

A. $\omega =\frac{2}{3}$ ， $\phi =\frac{\pi }{12}$ B. $\mathit{ \omega }=\frac{2}{3}$ ， $\phi =﹣\frac{11\pi }{12}$ C. $\omega =\frac{1}{3}$ ， $\phi =﹣\frac{11\pi }{24}$ D. $\omega =\frac{1}{3}$ ， $\phi =\frac{7\pi }{24}$

已知奇函数 $f（x）$ 在R上是增函数．若 $a=﹣f（\mathit{lo}{g}_2\frac{1}{5}$ ）， $b=f（\mathit{log}24.1）$ ， $c=f（2^{0.8}）$ ，则a，b，c的大小关系为（　　）

A. $a＜b＜c$ B. $\mathit{ b}＜a＜c$ C. $c＜b＜a$ D. $c＜a＜b$

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}﹣\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$ 的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上， $△\mathit{OAF}$ 是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（　　）

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$ B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$ C. $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ D. $x^2-\frac{y^2}{3}=1$

阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3

有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（　　）

A. $\frac{4}{5}$ B. $\frac{3}{5}$ C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{1}{5}$

设 $x\in R$ ，则" $2﹣x\ge 0$ "是" $\left|x﹣1\right|\le 1$ "的（　　）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

设集合 $A=\left\{1，2，6\right\}$ ， $B=\left\{2，4\right\}$ ， $C=\left\{1，2，3，4\right\}$ ，则 $（A\cup B）\cap C=$ （　　）

A. $\left\{2\right\}$ B. $\left\{1，2，4\right\}\mathit{ }$ C. $\left\{1，2，4，6\right\}$ D. $\left\{1，2，3，4，6\right\}$

已知函数 f（ x）＝﹣ x ²+ ax+4， g（ x）＝| x+1|+| x﹣1|．

（1）当 a＝1时，求不等式 f（ x）≥ g（ x）的解集；

（2）若不等式 f（ x）≥ g（ x）的解集包含[﹣1，1]，求 a的取值范围．

在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=3\mathit{cos\theta }\\ y=\mathit{sin\theta }\end{array}\right.$ ，（θ为参数），直线 l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=a+4t\\ y=1-t\end{array}\right.$ ，（ t为参数）．

（1）若 a＝﹣1，求 C与 l的交点坐标；

（2）若 C上的点到 l距离的最大值为 $\sqrt{17}$ ，求 a．

设 A， B为曲线 C： y $=\frac{x^2}{4}$ 上两点， A与 B的横坐标之和为4．

（1）求直线 AB的斜率；

（2）设 M为曲线 C上一点， C在 M处的切线与直线 AB平行，且 AM⊥ BM，求直线 AB的方程．

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位： cm）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：

抽取次序	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
抽取次序	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 $\bar{x}=\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}$ x _i＝9.97， s $=\sqrt{\frac{1}{16}\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}(\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}{x_i}^2-16{\bar{x}}^2)}\approx$ 0.212， $\sqrt{\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}(i-8.5{)}^2}\approx$ 18.439， $\underset{i=1}{\overset{16}{\sum }}$ （ x _i $-\bar{x}$ ）（ i﹣8.5）＝﹣2.78，其中 x _i为抽取的第 i个零件的尺寸， i＝1，2，…，16．

（1）求（ x _i， i）（ i＝1，2，…，16）的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若| r|＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（ $\bar{x}-$ 3 s， $\bar{x}+$ 3 s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？

（ⅱ）在（ $\bar{x}-$ 3 s， $\bar{x}+$ 3 s）之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）

附：样本（ x _i， y _i）（ i＝1，2，…， n）的相关系数 r $=\frac{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(y_i-\bar{y}{)}^2}}$ ， $\sqrt{0.008}\approx$ 0.09．

如图，在四棱锥 P﹣ ABCD中， AB∥ CD，且∠ BAP＝∠ CDP＝90°．

（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD；

（2）若 PA＝ PD＝ AB＝ DC，∠ APD＝90°，且四棱锥 P﹣ ABCD的体积为 $\frac{8}{3}$ ，求该四棱锥的侧面积．

记 S _n为等比数列{ a _n}的前 n项和．已知 S ₂＝2， S ₃＝﹣6．

（1）求{ a _n}的通项公式；

（2）求 S _n，并判断 S _{n +1}， S _n， S _{n +2}是否成等差数列．

已知三棱锥 S﹣ ABC的所有顶点都在球 O的球面上， SC是球 O的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB， SA＝ AC， SB＝ BC，三棱锥 S﹣ ABC的体积为9，则球 O的表面积为 　 　．