高中数学试题

（本小题满分12分）已知函数（、为常数）．
（1）若，解不等式；
（2）若，当时，恒成立，求的取值范围．

一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．
（1）设抛掷5次的得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）求恰好得到n（n∈N^*）分的概率．

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧面与底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N、P分别是CC₁、BC、A₁B₁的中点．

（1）求证：PN⊥AM；
（2）若直线MB与平面PMN所成的角为θ，求sinθ的值．

选修4­4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 （α为参数）．以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值．

选修4­2：矩阵与变换
已知矩阵M＝有特征值λ₁＝4及对应的一个特征向量e₁＝．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线5x²＋8xy＋4y²＝1在M的作用下的新曲线的方程．

选修4­1：几何证明选讲
如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P．

（1）求证：OM·OP＝OA²；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM＝90°．

（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E： （a＞b＞0）的左、右顶点分别为A₁、A₂，上、下顶点分别为B₁、B₂．设直线A₁B₁的倾斜角的正弦值为，圆C与以线段OA₂为直径的圆关于直线A₁B₁对称．

（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A₁B₁与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程．

（本小题满分14分）已知函数．
（1）设，且，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB＝1，，且△ABC的面积为，求sinA＋sinB的值．

如图所示，在直三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC₁＝2．若用平行于三棱柱A₁B₁C₁—ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．

已知点A（0,2），抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，线段FA交抛物线于点B，过B作l的垂线，垂足为M，若AM⊥MF，则p＝__________．

在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线的左、右焦点，△ABC 的顶点C在双曲线的右支上，则的值是____________．

（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为，求的值．

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同。直线的极坐标方程为:，点，参数．
（1）求点轨迹的直角坐标方程；
（2）求点到直线距离的最大值．

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知中，，是外接圆劣弧上的点（不与点重合），延长至。

（1）求证：的延长线平分；
（2）若，中边上的高为，求外接圆的面积。

（本小题满分12分）已知椭圆＞＞的离心率为，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点，是椭圆C上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明：直线与轴相交于定点．