高中数学试题

已知 $a,b\in R$ ， i是虚数单位，若 $(1+i)(1-\mathit{bi}）=\mathit{a }$ ， 则 $\frac{a}{b}$ 的值为________.

函数 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=\left\{\begin{array}{c}{x}^2+(4a-3)x+3a),x<0\\ {\log }_a(x+1)+1,x\ge 0\end{array}\mathrm{（}a>0,\mathrm{且}a\ne 1\mathrm{）}\right.$ 在R上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $\mathit{│f}（x）│=2-\mathit{x}$ 恰好有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是（ ）

A．

$\mathrm{（}0\mathrm{，}\frac{2}{3}]$

B．

$\left[\frac{2}{3}，\frac{3}{4}\right]$

C．

$\left[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}\right]\cup \left\{\frac{3}{4}\right\}$

D．

$\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)\cup \left\{\frac{3}{4}\right\}$

已知△ ABC是边长为1的等边三角形，点 D、 E分别是边 AB 、 BC的中点，连接 DE并延长到点 F，使得 $\mathit{DE}=2\mathit{EF }$ ， 则 $\stackrel{\to }{\mathit{AF}·}\stackrel{\to }{\mathit{BC}}$ 的值为( )

A．

$-\frac{5}{8}$

B．

$\frac{1}{8}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

$\frac{11}{8}$

已知双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}\text{=}1\mathrm{（}b>0\mathrm{）}$ ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A、 B、 C、 D四点，四边形的 ABCD的面积为2 b ， 则双曲线的方程为( )

A．

$\frac{x^2}{4}-\frac{3y^2}{4}\text{=}1$

B．

$\frac{x^2}{4}-\frac{4y^2}{3}\text{=}1$

C．

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}\text{=}1$

D．

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}\text{=}1$

设 $\left\{an\right\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 $\mathit{q }$ ， 则 $“q<0”$ 是"对任意的正整数 $\mathit{n}$ , $a_{2n-1}+a_{2n}<0$ "的( )

A．

充要条件

B．

充分而不必要条件

C．

必要而不充分条件

D．

既不充分也不必要条件

阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S的值为( )

A．

2

B．

4

C．

6

D．

8

在 $△\mathit{ABC}$ 中，若 $\mathit{AB}\text{=}\sqrt{13}$ , $\mathit{BC}=3$ ， $\angle C={120}^{\circ }$ ,则 $\mathit{AC}=$ （ ）

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

设变量 $\mathit{x}$ ， $\mathit{y}$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x-y+2\ge 0\\ 2x+3y-6\ge 0\\ 3x+2y-9\le 0\end{array}\right.$ ，则目标函数 $z=2x+5y$ 的最小值为( )

A．

$-4$

B．

6

C．

10

D．

17

已知集合 $A=\left\{1，2，3，4\right\}$ ， $B=\left\{y\right|y=3x﹣2，x\in A\}$ ，则 $A\cap B=$ （　　）

A．

$\left\{1\right\}$

B．

$\left\{4\right\}$

C．

$\left\{1，3\right\}$

D．

$\left\{1，4\right\}$

设 $f\left(x\right)=e^x(a{x}^2+x+1)$ ，且曲线 $y=f\left(x\right)$ 在 $x=1$ 处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求 $a$ 的值，并讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\mathit{时，}\left|f\left(\mathit{cos}\theta \right)-f\left(\text{sin}\theta \right)\right|<2$       

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

    

（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（Ⅱ）由于以上统计数据填下面 $2\times 2$ 列联表，并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附： $x^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}},\frac{p(x^2\ge k)}{k}\frac{0.05\mathit{ }0.01}{3.841\mathit{ }6.635}$

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $\mathit{CD}=2$ ， $\mathit{平面}\mathit{ABCD}\perp \mathit{平面}\mathit{DCEF}$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。

如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为 $75^0$， $30^0$，于水面C处测得B点和D点的仰角均为 $60^0$，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km， $\sqrt{2}\approx$1.414， $\sqrt{6}\approx$2.449）   

等比数列 $\left\{a_n\right\}$的前n 项和为 $s_n$，已知 $S_1$, $S_3$, $S_2$成等差数列

（1）求 $\left\{a_n\right\}$的公比 $q$；

（2）求 $a_1-a_3=3$求 $s_n$      

设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。则该几何体的体积为_____ $m^3$ .